Kalkulator turunan yang menampilkan aturan di balik setiap jawaban
Ketik fungsinya di baris atas, pilih variabel dan ordenya, lalu baris di bawah terisi dengan bentuk turunan, aturan yang dipakai, gradien garis singgung di titik yang kamu masukkan, dan grafik fungsi berdampingan dengan turunannya. Tidak ada tombol hitung: begitu fungsinya diubah, semuanya dihitung ulang.
Notasi · ln(x) logaritma natural · log(x) logaritma basis 10 · 2x tanda kali boleh dihilangkan · x^2 pangkat · 0.5 pemisah desimal pada rumus adalah titik · sqrt(x) akar kuadrat
- f(a), nilai fungsi
- — Fungsi asal pada titik yang dimasukkan
- f'(a), gradien garis singgung
- — Gradien garis singgung di titik tersebut
- f''(a), kecekungan
- — Positif berarti cekung ke atas, negatif cekung ke bawah
- Persamaan garis singgung
- — Garis yang menyinggung kurva di titik itu
| Fungsi | Bentuk | Nilai |
|---|
Kalkulator ini membaca dan menurunkan bentuk fungsi langsung di peramban dan tidak mengunduh pustaka perhitungan dari luar. Saat merapikan hasil, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut disederhanakan, dan penyederhanaan itu mengandaikan faktor tersebut tidak bernilai nol. Fungsi yang tidak dapat diturunkan di suatu titik, seperti nilai mutlak di nol, tetap diberi turunan yang berlaku pada bagian domain lainnya. Identitas trigonometri tidak diterapkan, jadi bentuk jawabannya bisa berbeda dari buku sekolah walaupun nilainya sama.
langsung bisa dipakai.
- Terlihat sejak awalArea input dan hasil dibuat jelas.
- Hasil lebih duluAngka utama ditaruh di depan, detail mengikuti seperlunya.
- Tidak banyak syaratTanpa akun atau data tambahan sebelum memakai alat.
Apa sebenarnya yang diberitahukan turunan, dan bagaimana kalkulator ini sampai ke sana
Turunan berbicara tentang kemiringan, bukan ketinggian. Seberapa tinggi kurva di suatu titik dijawab oleh nilai fungsinya; seberapa curam naiknya dijawab oleh turunannya. Pada soal UTBK maupun ujian sekolah, «tentukan persamaan garis singgung» dan «tentukan interval fungsi naik» sebenarnya perhitungan yang sama dengan bungkus berbeda, dan keduanya berangkat dari satu turunan. Yang benar-benar membuat tersendat biasanya bukan hasilnya, melainkan memutuskan aturan mana yang dipakai di bagian mana.
Karena itu kalkulator ini tidak hanya mengembalikan jawaban, tetapi juga mendaftar aturan yang dilewatinya. Ketik x^2*sin(x) dan aturan hasil kali, aturan pangkat, serta turunan trigonometri muncul sebagai label; ketik sqrt(3x^2+1) dan yang muncul adalah aturan bentuk akar dan aturan rantai. Bagian berikut menjelaskan cara pembaca bentuk fungsi bekerja, alasan ln dan log dibedakan, dan mengapa turunan kedua dari sebuah pecahan menjadi begitu panjang, dengan angka yang persis sama seperti di layar.
Mulai dari satu suku banyak dan ikuti sampai selesai
Ketik f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 lalu isi titik perhitungan dengan 2. Layar akan menampilkan nilai seperti pada tabel berikut. Turunan pertama berasal dari penerapan aturan pangkat suku demi suku, dan gradien garis singgung adalah turunan itu yang dihitung di titik 2. Tabel memakai pembulatan yang sama dengan yang ditampilkan alat.
- Aturan pangkat: menurunkan x^n memberi n·x^(n-1), sehingga x^3 menjadi 3x^2 dan 2x^2 menjadi 4x.
- Suku tetap 3 turunannya 0 sehingga hilang dari hasil.
- Suku -5x hanya menyisakan koefisiennya, yaitu -5. Itulah aturan kelipatan konstanta.
- Gradien garis singgungnya f′(2) = 3·4 + 4·2 - 5 = 15.
- Garis singgung memakai gradien itu lalu digeser agar melewati titiknya, sehingga y = 15x - 21.
| Butir | Nilai | Asal nilainya |
|---|---|---|
| Turunan pertama f′(x) | 3x^2 + 4x - 5 | Aturan pangkat dan kelipatan konstanta, suku demi suku |
| Turunan kedua f″(x) | 6x + 4 | Turunan pertama diturunkan sekali lagi |
| Turunan ketiga f‴(x) | 6 | Turunan kedua diturunkan sekali lagi |
| Nilai fungsi f(2) | 9 | 8 + 8 - 10 + 3 |
| Gradien garis singgung f′(2) | 15 | 3×4 + 4×2 - 5 |
| Kecekungan f″(2) | 16 | 6×2 + 4, positif sehingga cekung ke atas |
| Garis singgung | y = 15x - 21 | 9 - 15×2 = -21 |
Cara menulis bentuk fungsi agar terbaca sesuai maksudmu
Dua hal yang paling sering menjegal adalah tanda kali dan basis logaritma. Di sini tanda kali boleh dihilangkan, dan log tanpa basis dibaca sebagai logaritma basis 10, sama seperti yang tertulis di buku SMA. Logaritma natural ditulis ln. Baris notasi di bawah kotak isian menampilkan kesepakatan itu terus-menerus.
- 2x, 3sin(x), x(x+1), dan (x+1)(x-1) semuanya dibaca sebagai perkalian.
- Pangkat memakai tanda sisipan: x^2, x^(1/2), dan 2^x semuanya berlaku.
- ln(x) adalah logaritma natural, log(x) berbasis 10, dan log2(x) berbasis 2.
- Bentuk akar ditulis sqrt(x) dan cbrt(x); x^0.5 sama artinya dengan sqrt(x).
- Di dalam rumus pemisah desimalnya adalah titik, karena koma berbenturan dengan pemisah argumen pada notasi rumus internasional. Pada hasil perhitungan, koma tetap dipakai sesuai kebiasaan Indonesia.
- Tulis pi atau π untuk π, dan e untuk bilangan Euler.
Mengapa aturannya ditampilkan di samping jawaban
Separuh orang yang mencari kalkulator turunan sudah punya jawaban di buku catatannya. Yang belum mereka miliki adalah keyakinan bahwa aturan yang dipilih sudah tepat. Alat ini mengumpulkan aturan yang dipakainya saat menelusuri bentuk fungsi, lalu menampilkannya di bawah hasil. Kalau jawabanmu cocok tetapi labelnya berbeda dari langkahmu, berarti ada lebih dari satu jalan menuju hasil yang sama.
- Aturan konstanta dan aturan identitas terlalu mendasar untuk diberi label, jadi hanya muncul ketika seluruh fungsinya berupa konstanta.
- Aturan penjumlahan dan pengurangan muncul setiap kali sukunya lebih dari satu.
- Aturan kelipatan konstanta menggantikan aturan hasil kali bila salah satu faktor tidak memuat variabel, sehingga angka 3 pada 3sin(x) ikut apa adanya.
- Aturan rantai hanya muncul bila isi fungsinya bukan variabel tunggal: sin(x) tidak memakainya, sin(3x+1) memakainya.
- Diferensiasi logaritmik muncul saat variabel berada di basis sekaligus di pangkat, seperti pada x^x.
Melihat persis di mana aturan rantai masuk
Aturan rantai menyuruh menurunkan fungsi luar lalu mengalikannya dengan turunan fungsi dalam. Kalimatnya mudah; menentukan sampai mana bagian dalamnya yang sulit. Tekan contoh aturan rantai, sqrt(3x^2+1), dan hasilnya 3x / sqrt(3x^2+1). Angka 3x di pembilang adalah sisa setelah turunan dalam 6x dikalikan turunan luar 1/(2√u).
- sin(3x+1) turunannya 3cos(3x+1); angka 3 di depan berasal dari turunan bagian dalam.
- exp(2x) turunannya 2exp(2x) dengan alasan yang sama.
- ln(x^2+1) turunannya 2x / (x^2+1), dan pembilangnya adalah turunan bagian dalam.
- (3x+1)^4 turunannya 12(3x+1)^3 karena 4 dan 3 dikalikan.
- Jika bagian dalamnya hanya x, label aturan rantai tidak muncul karena faktor yang disumbangkannya bernilai 1.
Memilih antara aturan hasil kali dan aturan hasil bagi
Melihat bentuk pecahan membuat banyak orang refleks memakai aturan hasil bagi, padahal bila penyebutnya tidak memuat variabel aturan itu tidak diperlukan. Kalkulator ini menilai dengan cara yang sama: penyebut berupa konstanta ditangani sebagai kelipatan konstanta sehingga hasilnya lebih pendek, dan label hasil bagi baru muncul kalau penyebutnya benar-benar berubah.
- x^2/5 berpenyebut konstanta sehingga selesai sebagai (1/5)·2x = 0,4x.
- (x^2+1)/(x-1) memang perlu aturan hasil bagi dan memberi (x^2 - 2x - 1)/(x-1)^2.
- 4/x^2 lebih cepat ditulis 4x^(-2): satu kali aturan pangkat memberi -8/x^3.
- Menulis ulang penyebut satu suku dengan pangkat negatif benar-benar menghemat waktu saat ujian.
- Aturan hasil kali baru diperlukan bila kedua faktornya memuat variabel, seperti pada x^2·sin(x).
Apa yang ditambahkan oleh titik perhitungan
Bentuk turunan saja belum menjawab «seberapa curam tepat di sini». Begitu titiknya diisi, empat kartu hasil merangkum keadaan kurva di titik itu: nilai fungsi, gradien garis singgung, turunan kedua, dan persamaan garis singgungnya. Kalau titiknya dibiarkan kosong, angka contoh yang samar dipakai, dan keterangan di atas kartu menyebutkannya.
- f(a) adalah ketinggian kurva, yaitu ordinat yang harus dilewati garis singgung.
- f′(a) adalah gradien garis singgung: positif berarti naik di titik itu, negatif berarti turun.
- f″(a) adalah kecekungan: positif berarti cekung ke atas, negatif cekung ke bawah.
- Persamaan garis singgung disusun sebagai y = f′(a)·x + (f(a) - f′(a)·a).
- Jika titiknya membuat penyebut menjadi nol, kartu menampilkan «tak terdefinisi», bukan angka.
Membaca f dan turunannya pada sumbu yang sama
Menumpuk kedua kurva membuat hubungannya terlihat. Kurva putus-putus adalah fungsi aslinya dan kurva penuh adalah turunan pada orde yang kamu pilih. Di titik tempat kurva penuh memotong sumbu mendatar, kurva putus-putus punya garis singgung mendatar, yang menjadi calon titik maksimum atau minimum. Sumbu, kisi, dan keterangan sudah tergambar sebelum kamu mengetik apa pun, sehingga jangkauannya terlihat lebih dahulu.
- Jangkauan mendatar membentang 5 satuan di kiri dan kanan titik perhitungan.
- Jangkauan tegak dipilih dari sebaran nilai yang dicuplik, dan nilai ekstrem di dekat asimtot dipangkas agar sisanya tetap terbaca.
- Garis titik-titik tegak menandai titik perhitungan; lingkaran di atasnya adalah f(a) dan kotaknya adalah nilai turunan.
- Di bagian tempat kurva penuh berada di atas sumbu, kurva putus-putus naik; di bagian yang di bawah sumbu, kurva itu turun.
- Ubah orde menjadi 2 dan kurva penuh berganti menjadi turunan kedua, yang menunjukkan arah lengkung grafiknya.
Kapan turunan kedua dan ketiga benar-benar berguna
Turunan pertama menentukan naik atau turun. Turunan kedua menentukan apakah perubahan itu makin cepat atau makin melandai, dan itulah inti kecekungan serta titik belok. Dalam fisika, menurunkan posisi terhadap waktu memberi kecepatan, dan menurunkannya sekali lagi memberi percepatan; turunan ketiga muncul di teknik saat membahas kenyamanan kendaraan.
- Titik dengan f′ = 0 dan f″ > 0 adalah titik minimum lokal.
- Titik dengan f′ = 0 dan f″ < 0 adalah titik maksimum lokal.
- Titik tempat f″ berganti tanda adalah titik belok.
- s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t memberi kecepatan 3t^2 - 12t + 9 dan percepatan 6t - 12.
- Dengan orde 3, tabel menampilkan f sampai f‴ sekaligus.
Kenapa turunan kedua tiba-tiba menjadi sangat panjang
Menurunkan pecahan atau bentuk akar dua kali membuat bentuknya memanjang secara mencolok. Setiap kali aturan hasil bagi dipakai, penyebutnya dikuadratkan, dan aturan hasil kali menumpuk suku baru di pembilang. Kalkulator ini menyederhanakan faktor yang tersisa di kedua sisi dan menggabungkan konstanta, tetapi tidak mencoba identitas trigonometri maupun pemfaktoran.
- sqrt(3x^2+1) punya turunan pertama yang pendek, 3x / sqrt(3x^2+1), namun turunan keduanya sudah membawa dua suku di pembilang.
- ln(sin(x)) memberi (-sin(x)^2 - cos(x)^2) / sin(x)^2, yang dengan identitas dasar ditulis -1/sin(x)^2. Nilainya sama.
- Kalau bentukmu berbeda dari buku, masukkan dua atau tiga nilai sembarang ke keduanya dan periksa apakah hasilnya sama.
- Makin panjang bentuknya, makin mudah tanda terlewat saat disalin dengan tangan, dan untuk itulah tombol salin disediakan.
Kesalahan pengetikan yang berulang kali muncul
Ketika bentuk fungsi tidak terbaca, hasilnya dikosongkan dan baris status menyebutkan pada karakter ke berapa pembacaan berhenti. Hampir selalu penyebabnya kurung yang belum ditutup atau nama fungsi tanpa kurung. Berikut bentuk yang paling sering ditemui.
- sin x — nama fungsi memerlukan kurung. Tulis sin(x).
- sin(x — kurung tutupnya kurang, dan baris status menunjuk ke sekitar karakter yang bermasalah.
- x^2^3 — pangkat bertingkat sebaiknya diberi kurung agar maknanya tegas: x^(2^3).
- 2**x — dua tanda bintang bukan operator pangkat di sini. Tulis 2^x.
- sin^2(x) — pangkat pada nama fungsi tidak terbaca. Tulis sin(x)^2.
- 1,5 — di dalam rumus koma bukan pemisah desimal. Tulis 1.5.
Yang tidak dikerjakan kalkulator ini
Tugasnya berhenti pada turunan terhadap satu variabel. Pekerjaan berikut memerlukan cara lain, dan menganggap hasil di sini sebagai jawabannya akan menyesatkan.
- Integral: arah sebaliknya tidak dihitung.
- Turunan implisit: hubungan seperti x^2 + y^2 = 1 tidak ditangani. Nyatakan y dalam x lebih dahulu.
- Notasi banyak variabel: bila ada beberapa huruf, semua selain variabel terpilih dianggap konstanta. Hasilnya sama dengan turunan parsial, tetapi notasi parsialnya tidak didukung.
- Fungsi bersyarat: masukkan tiap cabangnya secara terpisah.
- Pendeteksian titik tak terdiferensialkan: abs(x) tidak punya turunan di 0, namun bentuk turunannya sekadar tidak mencakup titik itu.
- Hampiran numerik: fungsi yang tidak dapat ditulis dengan fungsi elementer berada di luar jangkauan.
Periksa ini sebelum menyalin jawaban ke lembar kerja
Menelusuri daftar pendek ini menutup sebagian besar kehilangan nilai pada soal turunan.
- Apakah variabel penurunannya sesuai permintaan soal? Menu itu terisi dari huruf yang ada di bentuk fungsimu.
- Apakah ordenya sesuai yang ditanyakan? Nilai awalnya 1.
- Kalau yang dimaksud logaritma natural, sudahkah kamu mengetik ln dan bukan log?
- Adakah faktor yang disederhanakan bernilai nol di dalam domain yang ditetapkan soal?
- Kalau soal meminta garis singgung, sudahkah titiknya benar-benar diisi dan bukan dibiarkan memakai nilai contoh?
- Untuk bentuk yang panjang, sudahkah kamu memakai tombol salin alih-alih menyalinnya dengan tangan?
Sumber dan tanggal tinjau
Tanggal tinjau isi halaman ini: 2026-09-05. Aturan turunan adalah definisi matematika, bukan ketentuan yang berubah tiap tahun ajaran, sehingga isinya tidak menjadi usang. Sumber di bawah adalah rujukan standar yang dipakai untuk mencocokkan rumus di kalkulator ini.
Alat terkait
Pertanyaan seputar menghitung turunan
Tidak ada tombol hitung. Kapan perhitungannya berjalan?
Perhitungan berjalan sambil kamu mengetik. Setiap ketukan pada kotak fungsi memperbarui bentuk turunan, label aturan, kartu titik, tabel, dan grafik sekaligus, dan hal yang sama terjadi saat variabel atau orde diubah. Tombol hitung hanya menambah satu klik tanpa mengubah hasil, jadi tombol itu dihapus. Selama bentuknya belum lengkap, misalnya sin(x tanpa kurung tutup, baris status memberitahu di mana pembacaan berhenti alih-alih menampilkan hasil.
Saya mengetik log(x) tetapi turunannya bukan 1/x
Di kalkulator ini log berarti logaritma basis 10, sehingga log(x) turunannya 1 / (x·ln(10)). Untuk logaritma natural ketik ln(x), yang turunannya memang 1/x. Buku SMA di Indonesia menulis log untuk basis 10 dan ln untuk logaritma natural, dan kesepakatan yang sama berlaku di pasar Korea, Spanyol, dan Amerika Serikat, jadi alat ini memakainya di semua bahasa.
Apakah tanda kali wajib ditulis?
Tidak. 2x, 3sin(x), x(x+1), dan (x+1)(x-1) semuanya dibaca sebagai perkalian. Variabel berupa satu huruf, sehingga xy berarti x kali y dan ab berarti a kali b; nama variabel lebih dari satu huruf tidak tersedia. Nama fungsi adalah pengecualian: hanya nama terdaftar seperti sin, cos, exp, dan ln yang dibaca sebagai satu kesatuan, dan semuanya wajib diikuti kurung.
Fungsi apa saja yang didukung?
Suku banyak dan bentuk pecahan aljabar, akar kuadrat dan akar pangkat tiga, enam fungsi trigonometri (sin, cos, tan, sec, csc, cot), tiga fungsi trigonometri invers (asin, acos, atan), tiga fungsi hiperbolik (sinh, cosh, tanh), fungsi eksponen (exp dan a^x), logaritma (ln, log, log2), serta nilai mutlak. Ejaan Spanyol seperti sen, arcsen, tg, dan ctg juga diterima, begitu pula singkatan seperti log10 dan lg.
Bisakah sekalian menghitung integral?
Tidak, alat ini hanya berjalan ke arah penurunan. Mencari turunan dan mencari antiturunan adalah dua persoalan dengan tingkat kesulitan yang jauh berbeda: penurunan selalu selesai dengan mengikuti aturan, sedangkan banyak fungsi biasa tidak punya antiturunan yang dapat ditulis dengan fungsi elementer. Yang bisa dilakukan adalah menurunkan berulang kali, dan itulah fungsi pemilih orde sampai turunan ketiga.
Bisakah saya menurunkan terhadap t, bukan x?
Bisa. Menu variabel terisi dari huruf tunggal yang muncul pada bentuk fungsimu. Ketik s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t, pilih t, dan kamu memperoleh kecepatan 3t^2 - 12t + 9. Bila ada beberapa huruf, hanya huruf terpilih yang dianggap variabel dan sisanya dianggap konstanta, sehingga menurunkan a·x^2 terhadap x memberi 2ax.
Turunan keduanya jauh lebih panjang daripada jawaban di buku
Menurunkan pecahan atau bentuk akar dua kali mengkuadratkan penyebut dan menumpuk suku di pembilang. Kalkulator menyederhanakan faktor yang sama dan menggabungkan konstanta, tetapi tidak menerapkan identitas trigonometri maupun pemfaktoran. Sebagai contoh, ln(sin(x)) memberi (-sin(x)^2 - cos(x)^2) / sin(x)^2, sedangkan bentuk beridentitas menuliskannya -1/sin(x)^2. Keduanya sama di seluruh daerah tempat keduanya terdefinisi; masukkan beberapa nilai bila ingin memastikan.
Apa yang terjadi kalau titik perhitungan dibiarkan kosong?
Angka contoh yang tampil samar dipakai untuk perhitungan, dan satu baris di atas kartu hasil menyebutkan bahwa nilai itu contoh, bukan angka yang kamu ketik. Begitu kamu mengisi angkamu sendiri, keterangan itu berubah, dan garis singgung serta penanda tegak pada grafik ikut bergeser. Pada kotak itu desimal boleh ditulis dengan titik maupun koma, jadi 1.5 dan 1,5 dibaca sama.
Bagaimana menuliskan sinus kuadrat x?
Tulis sin(x)^2. Bentuk tulisan tangan sin^2(x) tidak terbaca, karena pangkat harus menempel pada sesuatu yang dapat dilihat pembaca bentuk. Dengan alasan yang sama, sin(x^2) dan sin(x)^2 adalah dua fungsi berbeda, jadi periksa letak kurungnya: yang pertama memanggil aturan rantai dan yang kedua memanggil aturan pangkat.
Apa yang disalin oleh tombol salin?
Yang disalin adalah turunan sampai orde yang kamu pilih beserta nilai fungsi, gradien garis singgung, dan persamaan garis singgung pada titikmu, satu butir per baris. Bentuknya ditulis memakai tanda bintang untuk perkalian, bukan titik tengah seperti di layar, sehingga teksnya bisa langsung ditempel kembali ke kalkulator ini atau ke perangkat lunak matematika lain dan tetap terbaca. Tujuannya menghindari salah tanda saat menyalin.