Calculadora trigonométrica

sen θ es la coordenada y en la circunferencia unitaria, cos θ la coordenada x y tan θ la pendiente

Toma la circunferencia unitaria: radio 1 y centro en el origen. Gira el radio en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el semieje x positivo, un ángulo θ, y llama P(x, y) a su extremo. Entonces sen θ = y, cos θ = x y tan θ = y/x. Para 30°, P = (√3/2, 1/2), de modo que sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0,866025 y tan 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = √3/3 ≈ 0,57735. Las otras tres funciones son los inversos multiplicativos: csc θ = 1/sen θ, sec θ = 1/cos θ y cot θ = cos θ/sen θ. Según el libro o la calculadora, la tangente aparece también como tg, la cosecante como cosec y la cotangente como cotg; son las mismas funciones.

Escribe un ángulo en la calculadora de arriba y verás los seis valores a la vez. Para los múltiplos de 15° (0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 120° y así sucesivamente) se muestra el valor exacto con sus raíces junto al decimal; para cualquier otro ángulo, solo el decimal. El ángulo puede ir en grados o en radianes, y los radianes admiten π, como en 5π/6 o pi/4. En el dibujo, el punto P de la circunferencia y la gráfica desplegada de 0° a 360° se mueven a la misma altura. Si conoces el valor y buscas el ángulo, como en sen θ = 1/2, elige «Valor → ángulo».

Cuándo hace falta un valor trigonométrico

• Rampas y pendientes: una pendiente es desnivel ÷ recorrido horizontal, y ese cociente es tan θ. El Código Técnico de la Edificación (DB SUA 1, apartado 4.3.1) limita las rampas a una pendiente del 12 % como máximo, salvo las rampas de vehículos en aparcamientos que también se usan para circular a pie y no forman parte de un itinerario accesible, que pueden llegar al 16 % (≈ 9,090277°); en los itinerarios accesibles, al 10 % si la longitud es menor que 3 m, al 8 % si es menor que 6 m y al 6 % en el resto de los casos. Una pendiente del p % corresponde a un ángulo con tan θ = p/100: el 12 % son arctan(0,12) ≈ 6,842773°, el 10 % son 5,710593°, el 8 % son 4,573921° y el 6 % son 3,433630°. El apartado 4.3.2 fija además en 9 m la longitud máxima de cada tramo de una rampa accesible.
• Descomponer una fuerza o una velocidad: una fuerza oblicua se reparte con cos y sen. Si tiras con 100 N en una dirección 30° por encima de la horizontal, la parte horizontal es 100 × cos 30° ≈ 86,6 N y la vertical, 100 × sen 30° = 50 N. Los problemas de física con cuerpos en planos inclinados o con proyectiles lanzados en ángulo usan este mismo paso.
• Medir una altura con el ángulo de elevación: si estás a 20 m de un árbol y ves su copa 35° por encima de la horizontal, la altura sobre tus ojos es 20 × tan 35° ≈ 14,0 m. Con una distancia y un ángulo se mide una altura sin subir.
• Girar coordenadas: al girar el punto (x, y) un ángulo θ alrededor del origen se obtiene (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ). El punto (3, 0) girado 30° pasa a (3 × √3/2, 3 × 1/2) ≈ (2,598; 1,5). Los programas de juegos y gráficos lo usan para girar objetos o para repartir puntos por igual sobre una circunferencia.
• Comprobar deberes y exámenes: ángulos como 150°, 210° o −30° pasan de 90° o son negativos, y el signo hay que sacarlo del cuadrante y del ángulo de referencia; ahí se cometen los errores. La «Resolución» de la calculadora sigue el orden: reducir a una vuelta, cuadrante, ángulo de referencia y signo.

Cómo se usa

1. Arriba elige «Ángulo → valor» o «Valor → ángulo», luego la unidad del ángulo (grados o radianes) y los decimales (4, 6 o 10). Con 4 decimales ves los números como en una tabla trigonométrica escolar.
2. Escribe el ángulo en la casilla «Ángulo θ»: 150, -30 o 22,5 en grados; 1,2, 5π/6, pi/4 o 5/6π en radianes. En modo radianes aparece un botón π junto a la casilla. También sirven los botones de ángulos habituales.
3. Lee los valores en las seis tarjetas. Al pulsar una tarjeta, el dibujo muestra esa función como un segmento de la circunferencia unitaria y como una curva de la gráfica desplegada. Donde una función no tiene valor, la tarjeta dice «No definida» y explica el motivo (x = 0 o y = 0, no se puede dividir).
4. Arrastra el punto P o pulsa en la gráfica para cambiar el ángulo. A menos de 2° de un múltiplo de 15° se ajusta a ese ángulo, y con P seleccionado las flechas mueven 1° y Re Pág y Av Pág mueven 15°.
5. En «Valor → ángulo» elige sen, cos o tan y escribe un valor como 1/2, √3/2, −√2/2, 1/√3 o 0,3 (en lugar de √ vale sqrt). Obtienes el valor principal, las soluciones con 0° ≤ θ < 360° y la solución general; un botón de solución abre ese ángulo en «Ángulo → valor».
6. «Copiar resultado» copia en texto los seis valores (o las soluciones), «Copiar enlace» copia una dirección que contiene lo que has escrito y «Guardar imagen» guarda en PNG la circunferencia unitaria con los seis valores.

Cómo se calcula

Definición: la circunferencia unitaria y las seis funciones

Para el punto P(x, y) de la circunferencia unitaria, sen θ = y y cos θ = x; las otras cuatro se definen con estas dos: tan θ = sen θ/cos θ, csc θ = 1/sen θ, sec θ = 1/cos θ y cot θ = cos θ/sen θ (NIST DLMF 4.14.4–4.14.7). Por eso tan y sec no están definidas en 90° y 270°, donde cos θ = 0, y cot y csc no lo están en 0° y 180°, donde sen θ = 0. Entre 0° y 90° coinciden con las razones del triángulo rectángulo: en un triángulo de hipotenusa 1, la altura es y y la base es x, así que sen θ = cateto opuesto/hipotenusa, cos θ = cateto contiguo/hipotenusa y tan θ = cateto opuesto/cateto contiguo.

Grados y radianes

Una vuelta completa son 360°, es decir, 2π rad. Por tanto, 180° = π rad, 1° = π/180 rad ≈ 0,017453 rad y 1 rad = 180°/π ≈ 57,29578°. 150° son 150 × π/180 = 5π/6 rad, y 5π/6 rad son 5/6 × 180° = 150°. Cuando escribes radianes con π, la calculadora los pasa a grados como fracciones exactas, de modo que 7π/6 son exactamente 210°; los radianes escritos sin π, como 1,2, se tratan como aproximaciones decimales.

Cuadrante, ángulo de referencia y signo

1. Reducir a una vuelta: sumar o restar 360° deja el punto P donde estaba. −30° da los mismos valores que 330°, y 750° los mismos que 30°.
2. Cuadrante y ángulo de referencia: el ángulo de referencia es el ángulo agudo que forma OP con el eje x. En el cuadrante II es 180° − θ, en el III es θ − 180° y en el IV es 360° − θ.
3. Signo: depende de los signos de x e y. En el cuadrante I las seis funciones son positivas; en el II solo sen y csc; en el III solo tan y cot; en el IV solo cos y sec.
4. Valor: se toma el valor del ángulo de referencia y se le pone el signo. 210° está en el cuadrante III con ángulo de referencia 30°, así que sen 210° = −sen 30° = −1/2, cos 210° = −cos 30° = −√3/2 y tan 210° = tan 30° = √3/3.

Valores exactos de 15° y 75°

Como 15° = 45° − 30°, la fórmula de la resta sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β da sen 15° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4 ≈ 0,258819. De la misma forma, cos 15° = (√6 + √2)/4 y tan 15° = 2 − √3, y en 75° se intercambian sen y cos, y también tan y cot. La calculadora guarda estos valores, junto con los de 30°, 45° y 60°, en una tabla y los usa directamente cuando el ángulo de referencia es múltiplo de 15°. Un valor como tan 30° = 1/√3 se escribe con el denominador racionalizado, √3/3.

Precisión de los valores decimales

Para los ángulos que no son múltiplos de 15°, sen, cos y tan del ángulo de referencia se calculan en coma flotante de doble precisión y después se redondean a los decimales elegidos. Al partir del ángulo de referencia, los ángulos simétricos como 150° y 30° dan decimales idénticos para el seno. Un valor que termina exactamente (0,5; 1) se muestra con «=», y uno redondeado, con «≈».

Tabla de ángulos especiales (0°–360°)

Dos ángulos que suman 90° intercambian sen con cos y tan con cot, como en sen 30° = cos 60° y tan 15° = cot 75°. Esto se deduce de sen(90° − θ) = cos θ.

Tabla trigonométrica (0°–90°, de 5° en 5°)

Si necesitas pasos de 1° o seis o más decimales, escribe el ángulo en la calculadora de arriba y elige los decimales. Al acercarse el ángulo a 90°, tan crece muy deprisa: 11,4301 en 85° y unos 57,29 en 89°.

Hallar el ángulo a partir del valor (funciones inversas)

El ángulo θ con sen θ = 1/2 no es único. En la circunferencia unitaria hay puntos a altura 1/2 tanto en 30° como en 150°, y cada 360° se vuelve al mismo sitio. Por eso la calculadora halla primero un valor dentro de un rango fijo (el valor principal) y luego busca las demás soluciones por simetría.

• Rango del valor principal: arcsen da un valor entre −90° y 90°, arccos entre 0° y 180°, y arctan un valor mayor que −90° y menor que 90°. La tabla 4.23.1 de NIST DLMF coincide en los extremos: arcsen(±1) = ±π/2, arccos(−1) = π y arccos 1 = 0.
• La segunda solución: para sen es 180° − θ, para cos es 360° − θ y para tan es θ + 180°.
• Solución general: se suma 360°n a cada solución en sen y cos, y 180°n en tan (n es un entero). En radianes son 2πn y πn.

El seno y el coseno solo toman valores de −1 a 1, así que una ecuación como sen θ = 1,2 no tiene solución real. Para hallar un ángulo a partir de un valor de csc, sec o cot, calcula el inverso y escríbelo como sen, cos o tan: csc θ = 2 significa sen θ = 1/2.

Errores frecuentes

• La calculadora o la hoja de cálculo trabajan en radianes: la función SENO de Excel recibe radianes. =SENO(30) es el seno de 30 rad, unos −0,988; para el seno de 30° hay que escribir =SENO(30*PI()/180) o =SENO(RADIANES(30)), que da 0,5. Una calculadora científica hace lo mismo si está en el modo DEG o RAD equivocado.
• Escribir tan 90° como un número enorme: tan 90° exigiría dividir entre cos 90° = 0, así que no está definida. En JavaScript, la tangente en la aproximación decimal de π/2 sale 16331239353195370, y el coseno ahí vale 6,123233995736766 × 10⁻¹⁷ en vez de 0. La causa es la aproximación de π, no las matemáticas. Esta calculadora reconoce como no definidos los ángulos que están exactamente sobre un eje, como 90° y 270°.
• Leer sen⁻¹ como 1/sen: sen⁻¹ x significa arcsen x, el ángulo cuyo seno es x. El inverso 1/sen x es csc x. De igual modo, sen²θ significa (sen θ)², mientras que sen θ² significa sen(θ²), que es distinto.
• Dar una sola solución: en sen θ = 1/2 mucha gente escribe 30° y olvida 150°. Mira el rango que pide el problema (0° ≤ θ < 360°, 0 ≤ θ < 2π, etc.) y busca la segunda solución simétrica.
• Olvidar el signo del cuadrante: escribir cos 120° como 1/2, igual que cos 60°, es un error. 120° está en el cuadrante II, donde la coordenada x es negativa, así que cos 120° = −1/2.

Límites

• Los valores exactos con raíces solo se muestran cuando el ángulo de referencia es múltiplo de 15°. Ángulos como 18°, 36° o 72°, que sí tienen otras formas exactas, aparecen solo en decimales.
• Los radianes escritos sin π (como 1,2) y los ángulos que no son múltiplos de 15° son aproximaciones de doble precisión. Se puede confiar en ellas hasta 10 decimales, pero no más allá.
• Solo se calculan ángulos dentro de ±1.000.000°. Los radianes se limitan al mismo rango de ángulos.
• «Valor → ángulo» solo trata sen, cos y tan y solo busca soluciones reales. No se calculan ángulos complejos.
• Lo que escribes se calcula en tu navegador y no se envía a ningún sitio. «Copiar enlace» incluye lo que has escrito en la dirección.

Base: las definiciones de las funciones trigonométricas y de las unidades de ángulo no cambian de un año a otro. Las pendientes de rampa se comprobaron el 20 de octubre de 2026 en el texto del DB SUA publicado en codigotecnico.org (fechado el 14 de junio de 2022), y las definiciones matemáticas y la descripción de la función de Excel, ese mismo día en sus fuentes originales.

Fuentes

• 01NIST DLMF §4.14 — Trigonometric Functions: Definitions and Periodicity4.14.4 tan = sen/cos, 4.14.5 csc = 1/sen, 4.14.6 sec = 1/cos, 4.14.7 cot = cos/sen = 1/tan (en inglés, con sin en lugar de sen)
• 02NIST DLMF §4.23 — Inverse Trigonometric Functions4.23(ii) valores principales, tabla 4.23.1: arcsen(±1) = ±π/2, arccos(−1) = π, arccos 1 = 0, arctan(±∞) = ±π/2
• 03Wolfram MathWorld — Trigonometry Angles: Pi/12sen(π/12) = (√6 − √2)/4, cos(π/12) = (√6 + √2)/4, tan(π/12) = 2 − √3, csc = √6 + √2, sec = √6 − √2
• 04Wolfram MathWorld — Inverse Sinesin⁻¹ equivale a arcsin (arcsen en español); el exponente −1 indica la función inversa, no el inverso multiplicativo
• 05BIPM — The International System of Units (SI Brochure, 9th edition)Tabla 8: 1° = (π/180) rad
• 06Soporte de Microsoft — Función SENOel argumento va en radianes; para grados, multiplicar por PI()/180 o usar la función RADIANES; =SENO(30*PI()/180) = 0,5
• 07Código Técnico de la Edificación — DB SUA Seguridad de utilización y accesibilidadSUA 1, 4.3.1 Pendiente (rampas 12 % como máximo, rampas de vehículos en aparcamientos también previstas para personas 16 %; itinerarios accesibles 10 % si la longitud es menor que 3 m, 8 % si es menor que 6 m y 6 % en el resto) y 4.3.2 Tramos (9 m como máximo en itinerarios accesibles); texto de 14 de junio de 2022, comprobado el 2026-10-20

Preguntas frecuentes

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