Kalkulator Trigonometri

sin θ adalah koordinat y titik pada lingkaran satuan, cos θ koordinat x, dan tan θ gradiennya

Pada lingkaran satuan (berjari-jari 1 dan berpusat di titik asal), putar jari-jari dari sumbu x positif berlawanan arah jarum jam sebesar θ. Jika ujungnya adalah titik P(x, y), maka sin θ = y, cos θ = x, dan tan θ = y/x. Untuk 30°, P = (√3/2, 1/2), sehingga sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0,866025, dan tan 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = √3/3 ≈ 0,57735. Tiga fungsi lainnya adalah kebalikannya: csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, dan cot θ = cos θ/sin θ.

Di buku pelajaran Indonesia, csc sering ditulis cosec (kosekan) dan cot ditulis cotan (kotangen), sedangkan sec dibaca sekan. Kalkulator ini memakai csc dan cot, tetapi artinya sama. Masukkan sudut pada kalkulator di atas, dan keenam nilainya tampil sekaligus. Untuk kelipatan 15° (0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 120° …) nilai pasti berbentuk akar ditampilkan bersama desimalnya, sedangkan sudut lain ditampilkan dalam desimal. Sudut boleh berupa derajat (°) atau radian, dan radian boleh ditulis dengan π seperti 5π/6 atau pi/4. Pada gambar di bawah, titik P pada lingkaran satuan dan grafik hasil membentangkan lingkaran itu dari 0° sampai 360° bergerak bersama pada tinggi yang sama. Jika nilainya sudah diketahui dan sudutnya yang dicari, misalnya sin θ = 1/2, pilih mode “Nilai → sudut”.

Saat nilai trigonometri dibutuhkan

• Sudut ram dan tanjakan: kemiringan adalah “tinggi ÷ jarak mendatar”, dan nilai ini sama dengan tan θ. Peraturan Menteri PUPR Nomor 14/PRT/M/2017 (Lampiran II, bagian Ram, Persyaratan Teknis butir 1) menetapkan bahwa ram di dalam bangunan gedung paling besar berkelandaian 6° atau perbandingan 1:10, sedangkan ram di luar bangunan gedung paling besar 5° atau perbandingan 1:12. Kedua pasangan angka itu hanya hampir sama: arctan(1/10) ≈ 5,710593° dan arctan(1/12) ≈ 4,763642°. Untuk naik 1 m pada ram luar 1:12 dibutuhkan jarak mendatar 12 m, dan panjang bidang miringnya 1 ÷ sin 4,763642° ≈ 12,042 m. Pada ram dalam 1:10 jarak mendatarnya 10 m dan panjang miringnya sekitar 10,050 m.
• Menguraikan gaya atau kecepatan: gaya yang miring diuraikan dengan cos dan sin. Menarik dengan gaya 100 N pada arah 30° di atas garis mendatar menghasilkan komponen mendatar 100 × cos 30° ≈ 86,6 N dan komponen tegak 100 × sin 30° = 50 N. Perhitungan yang sama dipakai untuk benda di bidang miring dan kecepatan awal bola yang ditendang miring.
• Mengukur tinggi dari sudut elevasi: berdiri 20 m dari sebuah pohon dan melihat puncaknya dengan sudut elevasi 35°, tinggi di atas mata adalah 20 × tan 35° ≈ 14,0 m. Dengan jarak dan sudut, tinggi bisa dihitung tanpa memanjat.
• Mencari koordinat setelah rotasi: memutar titik (x, y) sebesar θ terhadap titik asal menghasilkan (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). Titik (3, 0) yang diputar 30° menjadi (3 × √3/2, 3 × 1/2) ≈ (2,598; 1,5). Rumus ini dipakai pada kode game dan grafis untuk memutar objek atau menempatkan titik secara merata pada sebuah lingkaran.
• Memeriksa tugas dan soal ujian: sudut di atas 90° atau bernilai negatif, seperti 150°, 210°, dan −30°, harus ditentukan tandanya lewat kuadran dan sudut referensi, sehingga sering salah. Bagian “Langkah” pada kalkulator menunjukkan urutannya: kembali ke satu putaran → kuadran → sudut referensi → tanda.

Cara memakai

1. Di bagian atas, pilih “Sudut → nilai” atau “Nilai → sudut”, lalu pilih satuan sudut (derajat atau radian) dan jumlah desimal (4, 6, atau 10). Untuk tampilan seperti tabel trigonometri di buku, pilih 4 desimal.
2. Isi kolom “Sudut θ”. Derajat ditulis seperti 150, -30, atau 22,5; radian seperti 1,2, 5π/6, pi/4, atau 5/6π. Setelah memilih radian, tombol π muncul di samping kolom. Tombol sudut yang sering dipakai juga bisa ditekan.
3. Baca nilainya pada kartu keenam fungsi. Menekan sebuah kartu mengubah gambar sehingga fungsi itu ditunjukkan sebagai ruas garis pada lingkaran satuan dan sebagai kurva pada grafik. Pada kolom tanpa nilai tertulis “tidak terdefinisi” beserta alasannya (x = 0 atau y = 0 sehingga tidak bisa dibagi).
4. Seret titik P pada gambar atau tekan grafik untuk mengubah sudut. Jika jaraknya kurang dari 2° dari kelipatan 15°, sudut menempel ke kelipatan itu. Setelah memilih titik P, tombol panah menggeser 1° dan Page Up/Page Down menggeser 15°.
5. Pada “Nilai → sudut”, pilih sin, cos, atau tan, lalu isi nilainya. Tulis seperti 1/2, √3/2, −√2/2, 1/√3, atau 0,3; sqrt boleh dipakai sebagai pengganti √. Hasilnya berupa nilai pokok, penyelesaian pada 0° sampai di bawah 360°, dan penyelesaian umum. Menekan tombol penyelesaian membuka mode “Sudut → nilai” untuk sudut itu.
6. “Salin hasil” menyalin keenam nilai (atau penyelesaian) sebagai teks, “Salin tautan” menyalin alamat yang memuat isian saat ini, dan “Simpan gambar” menyimpan lingkaran satuan beserta keenam nilai sebagai gambar PNG.

Cara perhitungannya

Definisi: lingkaran satuan dan enam fungsi

Untuk titik P(x, y) pada lingkaran satuan, sin θ = y dan cos θ = x; empat fungsi lainnya didefinisikan dari keduanya: tan θ = sin θ/cos θ, csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, dan cot θ = cos θ/sin θ (NIST DLMF 4.14.4~4.14.7). Karena itu, di 90° dan 270° yang cos θ-nya 0, tan dan sec tidak terdefinisi; di 0° dan 180° yang sin θ-nya 0, cot dan csc tidak terdefinisi. Untuk sudut di antara 0° dan 90°, nilainya sama dengan perbandingan sisi segitiga siku-siku. Pada segitiga siku-siku dengan sisi miring 1, tingginya y dan alasnya x, sehingga sin θ = sisi depan/sisi miring, cos θ = sisi samping/sisi miring, dan tan θ = sisi depan/sisi samping (sering disingkat sin = de/mi, cos = sa/mi, tan = de/sa).

Derajat dan radian

Satu putaran penuh adalah 360° atau 2π rad. Jadi 180° = π rad, 1° = π/180 rad ≈ 0,017453 rad, dan 1 rad = 180°/π ≈ 57,29578°. Nilai 150° sama dengan 150 × π/180 = 5π/6 rad, dan 5π/6 rad sama dengan 5/6 × 180° = 150°. Radian yang memuat π diubah ke derajat secara pecahan pasti, sehingga 7π/6 dihitung tepat 210°. Radian tanpa π, seperti 1,2, dihitung sebagai nilai desimal pendekatan.

Kuadran, sudut referensi, dan tanda

1. Kembali ke satu putaran: menambah atau mengurangi 360° tidak mengubah posisi titik P. Sudut −30° sama dengan 330°, dan 750° sama dengan 30°.
2. Kuadran dan sudut referensi: sudut referensi (di buku pelajaran sering disebut sudut relasi) adalah sudut lancip antara jari-jari OP dan sumbu x. Pada kuadran II nilainya 180° − θ, pada kuadran III θ − 180°, dan pada kuadran IV 360° − θ.
3. Tanda: ditentukan oleh tanda x dan y. Di kuadran I keenam fungsi positif, di kuadran II hanya sin dan csc, di kuadran III hanya tan dan cot, dan di kuadran IV hanya cos dan sec yang positif.
4. Nilai: ambil nilai sudut referensi lalu beri tanda. Sudut 210° berada di kuadran III dengan sudut referensi 30°, sehingga sin 210° = −sin 30° = −1/2, cos 210° = −cos 30° = −√3/2, dan tan 210° = tan 30° = √3/3.

Nilai pasti 15° dan 75°

Karena 15° = 45° − 30°, rumus selisih sudut sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β memberikan sin 15° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4 ≈ 0,258819. Dengan cara yang sama cos 15° = (√6 + √2)/4 dan tan 15° = 2 − √3, sedangkan di 75° sin dengan cos dan tan dengan cot saling bertukar. Kalkulator menyimpan nilai-nilai ini beserta nilai 30°, 45°, dan 60° dalam sebuah tabel, lalu mengambilnya langsung bila sudut referensinya kelipatan 15°. Nilai seperti tan 30° = 1/√3 yang masih memiliki akar pada penyebut ditulis dengan penyebut rasional, yaitu √3/3.

Ketelitian nilai desimal

Untuk sudut yang bukan kelipatan 15°, sin, cos, dan tan dari sudut referensinya dihitung dalam bilangan titik mengambang presisi ganda, lalu dibulatkan pada jumlah desimal yang dipilih. Karena dihitung dari sudut referensi, sudut yang simetris seperti sin 150° dan sin 30° menghasilkan nilai yang sama sampai desimal terakhir. Nilai yang berakhir tepat, seperti 0,5 atau 1, diberi tanda “=”, dan nilai yang dibulatkan diberi tanda “≈”.

Tabel sudut istimewa (0°~360°)

Pada tabel, dua sudut yang jumlahnya 90°, seperti sin 30° = cos 60° dan tan 15° = cot 75°, saling menukar sin dengan cos serta tan dengan cot. Hubungan ini berasal dari sin(90° − θ) = cos θ.

Tabel perbandingan trigonometri (0°~90°, selang 5°)

Jika membutuhkan nilai per 1° atau 6 desimal atau lebih, masukkan sudutnya pada kalkulator di atas dan pilih jumlah desimalnya. Makin dekat ke 90°, nilai tan naik dengan cepat: 11,4301 pada 85° dan sekitar 57,29 pada 89°.

Mencari sudut dari nilai (fungsi invers)

Sudut θ yang memenuhi sin θ = 1/2 tidak hanya satu. Pada lingkaran satuan, titik dengan tinggi 1/2 ada di 30° dan 150°, dan posisi yang sama berulang setiap 360°. Karena itu kalkulator lebih dulu mencari satu nilai pada rentang yang ditetapkan (nilai pokok), lalu mencari penyelesaian lain dengan simetri.

• Rentang nilai pokok: arcsin dipilih dari −90° sampai 90°, arccos dari 0° sampai 180°, dan arctan dari rentang di atas −90° dan di bawah 90°. Tabel 4.23.1 NIST DLMF juga memuat arcsin(±1) = ±π/2, arccos(−1) = π, dan arccos 1 = 0. Di Indonesia, arcsin x sering juga ditulis sin⁻¹ x.
• Penyelesaian kedua: nilai yang sama muncul lagi di 180° − θ untuk sin, 360° − θ untuk cos, dan θ + 180° untuk tan.
• Penyelesaian umum: untuk sin dan cos, tambahkan 360°n pada tiap penyelesaian; untuk tan, tambahkan 180°n (n bilangan bulat). Dalam radian, 2πn dan πn.

Nilai sin dan cos hanya ada dari −1 sampai 1, sehingga persamaan seperti sin θ = 1,2 tidak punya penyelesaian real. Untuk mencari sudut dari nilai csc, sec, atau cot, ubah dulu ke kebalikannya lalu masukkan sebagai sin, cos, atau tan. Jika csc θ = 2, maka sin θ = 1/2.

Kesalahan yang sering terjadi

• Kalkulator atau Excel menghitung dalam radian: fungsi SIN di Excel menerima radian. =SIN(30) menghitung sinus 30 rad, yaitu sekitar −0,988; untuk sinus 30° tulis =SIN(30*PI()/180) atau =SIN(RADIANS(30)) agar hasilnya 0,5. Kalkulator ilmiah mengalami hal yang sama bila modenya DEG dan RAD tertukar.
• Menulis tan 90° sebagai bilangan yang sangat besar: tan 90° tidak terdefinisi karena harus membagi dengan cos 90° = 0. Pada bahasa pemrograman, Math.tan(Math.PI / 2) menghasilkan bilangan besar seperti 16331239353195370, dan Math.cos(Math.PI / 2) menghasilkan 6.123233995736766e-17, bukan 0. Selisih itu muncul karena π dipotong menjadi nilai desimal pendekatan. Kalkulator ini menilai sudut yang tepat berada di sumbu, seperti 90° dan 270°, secara tepat.
• Membaca sin⁻¹ sebagai 1/sin: sin⁻¹ x berarti arcsin x, yaitu sudut yang sinusnya x. Kebalikan sin x adalah csc x. Dengan alasan serupa, sin²θ berarti (sin θ)², sedangkan sin θ² berarti sin(θ²), dua hal yang berbeda.
• Hanya menulis satu penyelesaian: pada sin θ = 1/2, banyak yang menulis 30° saja dan melupakan 150°. Periksa dulu rentang soalnya (0° ≤ θ < 360°, 0 ≤ θ < 2π, dan sebagainya), lalu cari penyelesaian kedua yang simetris.
• Melewatkan tanda pada tiap kuadran: menulis cos 120° sama dengan cos 60° = 1/2 adalah salah. Sudut 120° berada di kuadran II dan koordinat x-nya negatif, sehingga cos 120° = −1/2.

Keterbatasan

• Nilai pasti berbentuk akar hanya ditampilkan bila sudut referensinya kelipatan 15°. Sudut seperti 18°, 36°, dan 72°, yang sebenarnya punya bentuk pasti lain, ditampilkan sebagai desimal saja.
• Radian tanpa π (misalnya 1,2) dan sudut yang bukan kelipatan 15° dihitung sebagai nilai pendekatan dalam bilangan titik mengambang presisi ganda. Sampai 10 desimal masih dapat dipercaya, tetapi angka di bawahnya tidak dijamin.
• Sudut hanya dihitung dalam ±1.000.000°. Radian dibatasi pada rentang sudut yang sama.
• Mode nilai → sudut hanya mencakup sin, cos, dan tan serta hanya mencari penyelesaian real. Sudut kompleks tidak dihitung.
• Nilai yang Anda masukkan dihitung hanya di peramban perangkat ini dan tidak dikirim ke mana pun. Bila Anda menyalin tautan, isian ikut masuk ke alamatnya.

Dasar: definisi trigonometri dan satuan sudut tidak berubah tiap tahun. Batas kelandaian ram diambil dari Permen PUPR 14/PRT/M/2017 Lampiran II seperti yang tertulis dalam salinan PDF yang dibuka pada 20 Oktober 2026, sedangkan definisi matematika dan penjelasan fungsi Excel diperiksa pada tanggal yang sama dari sumber aslinya.

Sumber

• 01NIST DLMF §4.14 — Trigonometric Functions: Definitions and Periodicity4.14.4 tan = sin/cos, 4.14.5 csc = 1/sin, 4.14.6 sec = 1/cos, 4.14.7 cot = cos/sin = 1/tan
• 02NIST DLMF §4.23 — Inverse Trigonometric Functions4.23(ii) nilai pokok, tabel 4.23.1 arcsin(±1) = ±π/2, arccos(−1) = π, arccos 1 = 0, arctan(±∞) = ±π/2
• 03Wolfram MathWorld — Trigonometry Angles: Pi/12sin(π/12) = (√6 − √2)/4, cos(π/12) = (√6 + √2)/4, tan(π/12) = 2 − √3, csc = √6 + √2, sec = √6 − √2
• 04Wolfram MathWorld — Inverse Sinesin⁻¹ sama dengan arcsin; pangkat −1 berarti fungsi invers, bukan kebalikan
• 05BIPM — The International System of Units (SI Brochure, 9th edition)Tabel 8: 1° = (π/180) rad
• 06Dukungan Microsoft — Fungsi SINJika argumen dalam derajat, kalikan dengan PI()/180 atau gunakan fungsi RADIANS; =SIN(30*PI()/180) = 0,5; diperiksa 2026-10-20
• 07JDIH Kementerian PUPR — Permen PUPR 14/PRT/M/2017 tentang Persyaratan Kemudahan Bangunan GedungLampiran II, Ram, Persyaratan Teknis butir 1: ram di dalam gedung paling besar 6° atau 1:10, ram di luar gedung paling besar 5° atau 1:12; teks PDF diperiksa 2026-10-20 (salinan lampiran: spi.unej.ac.id/wp-content/uploads/2021/10/Lamp2-PermenPUPR14-2017.pdf)

Pertanyaan yang sering diajukan

Alat yang sering dipakai bersama