半径5 cmの円の円周は31.4 cm、面積は78.5 cm²です
円周率を3.14とすると、半径5 cmの円の円周は 直径10 cm × 3.14 = 31.4 cm、面積は 5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm² です。円周率を π のまま使うと、円周は約31.415927 cm、面積は約78.539816 cm² と少し大きくなります。3.14 が π(3.14159…)より0.0016ほど小さいためです。
上の計算機は、半径・直径・円周・面積のうちわかっている値を1つ入れるだけで、残りの3つを埋めます。右側の「円周率」で π、3.14、3.1、3、22/7 から問題で指定された値を選ぶと、結果と求め方がその値に切り替わり、5つの値で計算した結果も並べて見られます。3.14 や 22/7 で求めた値は分数のまま計算するので、面積78.5から半径を求めても 4.999… ではなく、ちょうど5になります。
使い方
- わかっている値を入れる: 半径・直径・円周・面積のうち、問題に出ている値を該当の欄に入れます。入れた欄には「入力値」と表示され、ほかの欄は計算結果に変わります。別の欄に入れ直すと、そちらが基準になります。
- 円周率を選ぶ: 宿題や問題で「円周率は3.14とします」のように値が決まっているときは、その値を選びます。一覧の各行には、その円周率で計算した結果が先に表示されているので、3.14 と π の差がどれくらいかもすぐ比べられます。上下の矢印キーでも選べます。
- 単位: cm、m、in などを選ぶと結果の後ろに付き、面積には cm² のように2乗の単位が付きます。単位を変えても数値は換算されません。
- 図を見る: 「円周を伸ばす」では、円を1周転がすと円周が直径の約3.14倍になることを、「面積を広げる」では、円を等分して交互に並べると長方形に近づく様子を見られます。分割数は8から64まで変えられ、「もう一度」で動きを見直せます。
- 求め方を確認する: 「求め方」の欄に、「円周 = 直径 × 円周率 = 10 × 3.14 = 31.4 cm」のように数を入れた式が出ます。半径や直径を入れたときは、10π cm、25π cm² のように π を残した答えも一緒に表示されます。
- 円周率を求める: いちばん下では、正多角形の辺の数を増やして π をはさみ込む過程を見たり、コップの周と直径を自分で測って入れ、周 ÷ 直径が π にどれだけ近いかを確かめたりできます。「結果をコピー」は4つの値を、「リンクをコピー」は今の入力を含むアドレスをコピーします。
計算のしかた
円周率とは
円周率は、円周を直径で割った値です。小さな硬貨でも大きな車輪でも、円周 ÷ 直径は必ず同じ数 3.14159265… になり、この数をギリシャ文字の π(パイ)で表します。円を1周転がすと、直径3つ分に加えて直径の約0.14倍だけ進みます。上の「円周を伸ばす」の図が、まさにその様子です。
円周を求める
円周率 = 円周 ÷ 直径 なので、逆に 円周 = 直径 × 円周率 です。直径は半径の2倍なので、半径がわかっているときは 円周 = 半径 × 2 × 円周率、文字で書くと C = 2πr です。半径5 cmなら 5 × 2 × 3.14 = 31.4 cm です。
面積を求める
円の面積 = 半径 × 半径 × 円周率、文字で書くと A = πr² です。円をおうぎ形に細かく切って上下交互に並べると、横が円周の半分(πr)、縦が半径(r)の長方形に近づきます。切る数を増やすほど長方形に近づくので、面積は 横 × 縦 = πr × r = πr² となります。半径5 cmなら 5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm² です。
逆に求める
円周がわかっているときは 直径 = 円周 ÷ 円周率 で直径を求め、半分にして半径を出します。面積がわかっているときは 面積 ÷ 円周率 = 半径 × 半径 なので、その値の平方根が半径です。たとえば面積78.5 cm² で円周率に3.14を使うと、78.5 ÷ 3.14 = 25、5 × 5 = 25 より半径は5 cmです。同じ面積でも π のまま計算すると半径は約4.998732 cm になるため、問題で決められた円周率を使って逆算すると、きれいな答えになります。
半径別の円周と面積
| 半径 | 円周 (3.14) | 円周 (π) | 面積 (3.14) | 面積 (π) |
|---|---|---|---|---|
| 1 cm | 6.28 cm | 6.283185 cm | 3.14 cm² | 3.141593 cm² |
| 2 cm | 12.56 cm | 12.566371 cm | 12.56 cm² | 12.566371 cm² |
| 3 cm | 18.84 cm | 18.849556 cm | 28.26 cm² | 28.274334 cm² |
| 4 cm | 25.12 cm | 25.132741 cm | 50.24 cm² | 50.265482 cm² |
| 5 cm | 31.4 cm | 31.415927 cm | 78.5 cm² | 78.539816 cm² |
| 6 cm | 37.68 cm | 37.699112 cm | 113.04 cm² | 113.097336 cm² |
| 7 cm | 43.96 cm | 43.982297 cm | 153.86 cm² | 153.93804 cm² |
| 8 cm | 50.24 cm | 50.265482 cm | 200.96 cm² | 201.06193 cm² |
| 9 cm | 56.52 cm | 56.548668 cm | 254.34 cm² | 254.469005 cm² |
| 10 cm | 62.8 cm | 62.831853 cm | 314 cm² | 314.159265 cm² |
π の列は小数第7位を四捨五入した値です。半径2 cmのとき円周と面積の数値が同じになるのは偶然ではなく、2πr と πr² が r = 2 で等しくなるためです。もちろん単位は cm と cm² で異なります。
円周率はどの値を使うか
文部科学省の小学校学習指導要領(平成29年告示)は、算数の第5学年の内容の取扱いで「円周率は3.14を用いるものとする」と定めています。解説の第6学年には「円の面積を求める際には，円周率は3.14を用いて処理することについて指導する」とあります。そのため、小学校の算数では3.14で計算するのが基本です。問題で「円周率は3として」「3.1として」と指定されていればその値を使い、「答えは π を使って表しなさい」とあれば、計算機の求め方の下にある π の形を見てください。
| 円周率 | π との差 | 相対差 | 円周 | 面積 |
|---|---|---|---|---|
| π (3.14159…) | 0 | 0% | 62.831853 cm | 314.159265 cm² |
| 3.14 | −0.001593 | −0.05% | 62.8 cm | 314 cm² |
| 3.1 | −0.041593 | −1.32% | 62 cm | 310 cm² |
| 3 | −0.141593 | −4.51% | 60 cm | 300 cm² |
| 22/7 (3.142857…) | +0.001264 | +0.04% | 62.857143 cm | 314.285714 cm² |
- 3.14: 小学校の算数と日常のおよその計算でいちばんよく使います。結果は π で計算した値より0.05%ほど小さくなります。
- 3 や 3.1: 暗算で大まかな大きさをつかむときに使います。3 は実際より4.5%ほど小さいので、円周に合わせてひもを切ると足りなくなります。
- 22/7: 半径や直径が7の倍数のときは約分できて計算が楽です。直径14 cmなら円周は 14 × 22/7 = 44 cm、面積は 7 × 7 × 22/7 = 154 cm² です。π より0.04%ほど大きくなります。
- π のまま: 円周に合わせて材料を切るときや設計寸法を決めるときなど、正確さが必要なときは π のまま計算してください。この計算機はブラウザーの Math.PI(3.141592653589793)を使います。
円周率はどのように求められてきたか
いちばん手軽なのは、実際に測ることです。コップや缶にひもを1周巻いて周の長さを測り、定規で直径を測って割ると、3.1前後になります。ただし1 mm測り間違えただけでも、直径8 cmのコップでは結果が1.25%ほど変わるので、小数第2位以降は測るだけでは合わせられません。
紀元前3世紀のアルキメデスは、測らずに計算で π をはさみ込みました。円の内側と外側に正六角形をかくと、円周は2つの多角形の周の間にあります。辺の数を2倍ずつ増やすと2つの周は円に近づいていき、彼は正96角形で 223/71 < π < 22/7、つまり 3.1408 < π < 3.1429 を示しました。下の表は直径1の円で多角形の周を計算した値で、計算機の一番下にある「円周率はどう求める?」では正24576角形まで続けて見られます。
| 正多角形 | 内側の周 | 外側の周 | 差 |
|---|---|---|---|
| 正6角形 | 3 | 3.464102 | 0.464102 |
| 正12角形 | 3.105829 | 3.215390 | 0.109562 |
| 正24角形 | 3.132629 | 3.159660 | 0.027031 |
| 正48角形 | 3.139350 | 3.146086 | 0.006736 |
| 正96角形 | 3.141032 | 3.142715 | 0.001683 |
辺の数を2倍にするたびに、差はおよそ4分の1に縮まります。アルキメデスの 223/71 と 22/7 が表の正96角形の値より少し広いのは、計算の途中で √3 などを分数でおよそに置き換え、範囲が広がる向きに丸めたからです。265年ごろ中国・魏の劉徽は同じ考え方で正3072角形まで進み、π を3.1416と見積もりました。480年ごろ祖沖之は 3.1415926 < π < 3.1415927 を求め、355/113 という分数を残しています。355/113 は小数第6位まで π と一致します。
π が終わりなく続くことは、1768年にランベルトが無理数であることを証明して確かになり、1882年にリンデマンは π が整数係数の方程式の解にならない超越数であることを証明しました。このため、定規とコンパスだけで円と同じ面積の正方形をかくことはできません。現在では、コンピューターが速く収束する級数を使い、π を数百兆桁まで計算しています。
円周率100桁
円周率を小数点以下100桁まで、10桁ずつ区切って書くと次のとおりです。日常の計算なら3.14や3.1416で十分で、この計算機の「そのまま」の計算も小数15桁ほどの精度です。
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
間違えやすい点
- 直径で面積を求めてしまう: 直径10 cmの円の面積を 10 × 10 × 3.14 = 314 と計算すると4倍になります。面積は半径5を使って 5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm² です。問題に直径が出てきたら、まず半分にしてください。
- 円周と面積の式を混ぜてしまう: 円周は 直径 × 円周率(半径 × 2 × 円周率)、面積は 半径 × 半径 × 円周率 です。半径 × 円周率 だけだと、円周の半分になります。
- 面積の単位を忘れる: 長さが cm なら面積は cm² です。m に直すときは 1 m² = 10,000 cm² なので、長さのように100で割ると間違いです。
- 問題で決められた円周率を使わない: 「円周率は3として」という問題を3.14で解くと、半径5 cmの円の面積が75 cm² ではなく78.5 cm² になり、答えが変わってしまいます。
- 途中で四捨五入する: 円周20 cmのとき、直径 6.369… を6.4に丸めてから面積を求めると32.1536 cm² になり、丸めずに求めた約31.847134 cm² より0.3 cm² ほど大きくなります(円周率3.14)。四捨五入は最後に1回だけにしましょう。
この計算機でできないこと
- 単位は結果に付ける表示にすぎず、換算はしません。半径を cm で入れて m の結果がほしいときは、単位換算ツールを併用してください。4つの欄は同じ単位として扱い、面積はその単位の2乗です。
- 半径・直径・円周は0.001から1,000,000まで、面積は1,000,000,000まで、小数は第6位まで入れられ、0より大きい値が必要です。
- 結果は小数第6位で四捨五入して表示し、1より小さい値は有効数字6桁で表示します。3.14・3.1・3・22/7 で求めた値は分数で正確に計算し、終わらない小数や丸めた値には ≈ を付けます。
- 「測って割ってみる」は、入れた値をそのまま割るだけで、測るときの誤差は補正しません。円周率の図と正多角形の図は説明用で、入力した大きさの実際の縮尺ではありません。
- おうぎ形の弧と面積、円柱・球の表面積と体積、だ円は計算しません。入力値はこの端末のブラウザーの中だけで計算し、どこにも送信しません。ただし「リンクをコピー」を押すと、入力値がアドレスに入ります。
基準: 円周率の値と円の公式は変わるものではありません。学習指導要領の文言と下の資料は、2026年10月21日に原文を確認しました。
出典
- 01Wikipedia, Piπ は円周 ÷ 直径、アルキメデスの正96角形 223/71 < π < 22/7、劉徽の正3072角形 3.1416、祖沖之の 3.1415926 < π < 3.1415927 と 355/113、1768年ランベルトの無理数性・1882年リンデマンの超越性の証明
- 02Wolfram MathWorld, Archimedes' Algorithm外側の多角形の周 2n tan(π/n)、内側 2n sin(π/n)、正六角形から調和平均・幾何平均で2倍ずつ、正96角形 3.14103 < π < 3.14271
- 03Wolfram MathWorld, Pi Approximations3、22/7、333/106、355/113 …はそれぞれ小数第0、2、4、6位まで一致
- 04OEIS A000796, Decimal expansion of Pi円周率の小数展開(この記事の100桁と照合)
- 05文部科学省, 小学校学習指導要領(平成29年告示)算数第5学年 内容の取扱い(3)「円周率は3.14を用いるものとする」
- 06文部科学省, 小学校学習指導要領(平成29年告示)解説 算数編第6学年「円の面積を求める際には，円周率は3.14を用いて処理することについて指導する」
よくある質問
円周率とは何ですか。値はいくつですか。
円周率は円周を直径で割った値で、円の大きさに関係なくいつも同じです。値は3.14159265358979…と終わりなく続き、記号 π(パイ)で表します。小学校では近似値の3.14を使います。
半径5 cmの円の円周と面積はいくつですか。
円周率を3.14とすると、円周は 10 × 3.14 = 31.4 cm、面積は 5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm² です。π のまま計算すると円周は約31.415927 cm、面積は約78.539816 cm²、π を残すと円周は10π cm、面積は25π cm² です。
円周はどうやって求めますか。直径に3.14をかけると何がわかりますか。
円周、つまり円のまわりの長さがわかります。円周率は「円周 ÷ 直径」なので、逆に「円周 = 直径 × 円周率」です。直径10 cmの円の円周は 10 × 3.14 = 31.4 cm です。半径がわかっているときは 半径 × 2 × 3.14 で求めます。
円の面積から半径を求めるにはどうしますか。
面積を円周率で割ると 半径 × 半径 が出て、その平方根が半径です。面積78.5 cm² で円周率に3.14を使うと、78.5 ÷ 3.14 = 25、5 × 5 = 25 より、半径は5 cmです。
小学生の円周や円の面積の求め方は？ 円周率はなぜ3.14ですか。
小学校では、円周 = 直径 × 円周率、円の面積 = 半径 × 半径 × 円周率 で求め、円周率は3.14を使います。3.14 は3.14159…を小数第2位まで表した近似値です。アルキメデスは円の内外に正96角形をかいて周を計算し、223/71 < π < 22/7、つまり3.1408と3.1429の間にあることを示しました。
3.14で計算した値と π で計算した値はどれくらい違いますか。
3.14 は π より約0.0016小さいので、円周も面積も約0.05%小さく出ます。半径10 cmの円の面積は、3.14 なら314 cm²、π なら約314.16 cm² です。宿題では問題で決められた値を使い、制作や設計のように正確さが必要なときは π のまま計算してください。
22/7はどんなときに使いますか。
22/7 は3.142857…で、π より約0.04%大きい分数の近似値です。半径や直径が7の倍数のときは約分できて計算が楽になります。直径14 cmなら円周は 14 × 22/7 = 44 cm、面積は 7 × 7 × 22/7 = 154 cm² です。
円周率には終わりがありますか。
終わりはなく、くり返しの部分もありません。1768年にランベルトが π は分数で表せない無理数であることを示し、1882年にリンデマンは π が整数係数の方程式の解にならない超越数であることを証明しました。現在はコンピューターで数百兆桁まで計算されています。