시계 바늘 각도 계산기

3시 20분에 시침과 분침 사이의 각도는 20°입니다

3시 20분에 분침은 숫자 4를 가리키므로 12시 방향에서 120° 떨어져 있습니다. 시침은 3시 정각의 90°에 머물러 있지 않고, 20분 동안 10°를 더 움직여 100°에 있습니다. 그래서 두 바늘 사이의 작은 각도는 120° − 100° = 20°이고, 반대쪽으로 도는 큰 쪽 각도는 360° − 20° = 340°입니다. 시침을 숫자 3에 그대로 두고 세면 30°가 나오는데, 이것이 시계 각도 문제에서 가장 흔한 실수입니다.

위 계산기에 시와 분을 넣으면 작은 각도와 큰 쪽 각도, 두 바늘의 위치, 예각·직각·둔각 같은 각의 종류가 바로 나옵니다. 시계 그림에서는 시침이 정각 자리에서 얼마나 움직였는지 점선으로 보여 주고, 바늘 끝의 손잡이를 끌어 시각을 바꿀 수도 있습니다. 반대로 '두 바늘이 겹치는 시각'이나 '직각이 되는 시각'을 찾아야 하면 '각도 → 시각'을 고르세요. 2시 10 10/11분처럼 분수로 떨어지는 답까지 정확하게 구합니다.

쓰는 법

1. 시각 → 각도: 시(0~23)와 분을 넣습니다. 15시처럼 24시간 표기로 넣어도 되고, 초를 넣으면 초에 따른 바늘 이동까지 계산합니다. 시·분·초 칸에서 위아래 방향키를 누르면 1씩 바뀌고, 59분에서 한 번 더 올리면 다음 시 0분이 됩니다.
2. 시계 그림: 분침 끝의 작은 손잡이를 끌면 1분 단위로, 시침 끝의 굵은 손잡이를 끌면 시침 자리에 맞는 시각으로 바뀝니다. 손잡이를 고른 뒤 방향키를 누르면 분침은 1분씩, 시침은 1시간씩 움직입니다. 주황색 부채꼴이 두 바늘 사이의 작은 각도입니다.
3. 다음 겹침·직각·일직선: 결과 아래에 지금 시각 다음으로 두 바늘이 겹치는 시각, 직각이 되는 시각, 일직선이 되는 시각이 나옵니다. 하나를 누르면 '각도 → 시각' 화면으로 넘어가 그 시각을 구하는 풀이를 보여 줍니다.
4. 각도 → 시각: 두 바늘 사이 각도(0~360°)와 찾을 범위(12시간 전체 또는 '2시~3시 사이' 같은 한 시간)를 고릅니다. 찾은 시각을 누르면 시계와 풀이가 그 시각으로 바뀝니다. 180°보다 큰 각을 넣으면 같은 뜻의 작은 각도(360°에서 뺀 값)로 찾습니다.
5. 지금 시각: 누르면 이 기기의 시계를 1초마다 따라가며 각도가 바뀌는 모습을 보여 줍니다. 다시 누르거나 칸을 고치면 멈춥니다.
6. 그래프: 맨 아래 그래프는 12시부터 12시간 동안 두 바늘 사이 작은 각도가 어떻게 오르내리는지 보여 줍니다. 그래프를 누르면 그 시각을 계산합니다. 결과 복사는 각도나 찾은 시각을 글로, 링크 복사는 지금 입력이 담긴 주소를 복사합니다.

계산 방법

바늘이 1분에 도는 각

분침은 60분에 한 바퀴(360°)를 돌므로 1분에 6°씩 움직입니다. 시침은 12시간, 곧 720분에 한 바퀴를 돌므로 1시간에 30°, 1분에 0.5°씩 움직입니다. 초까지 따지면 분침은 1초에 0.1°, 시침은 1초에 1/120°(0.5° ÷ 60)를 움직입니다. 바늘은 정각마다 한 칸씩 건너뛰지 않고 이 빠르기로 쉬지 않고 돈다고 봅니다.

두 바늘의 위치

위치는 12시 방향을 0°로 놓고 시계 방향으로 잽니다. 시를 h, 분을 m이라고 하면 다음과 같습니다. 12시는 0시와 같은 자리에서 출발하므로 h에는 12로 나눈 나머지를 넣습니다.

• 시침 위치 = 30° × h + 0.5° × m (초 s가 있으면 + 0.5° × s/60)
• 분침 위치 = 6° × m (초 s가 있으면 + 0.1° × s)

작은 각도와 큰 쪽 각도

두 위치의 차이를 d라고 하면, d가 180° 이하일 때는 d가 작은 각도이고 180°를 넘으면 360° − d가 작은 각도입니다. 두 바늘 사이를 원을 따라 잇는 길은 두 갈래이고, 두 각을 더하면 언제나 360°입니다. 9시 30분을 예로 들면 시침은 285°, 분침은 180°에 있어 차이가 105°이므로 작은 각도는 105°, 큰 쪽 각도는 255°입니다.

한 줄 공식

두 위치를 빼서 정리하면 각도 = |30h − 5.5m|입니다. 3시 20분은 |90 − 110| = 20°, 12시 30분은 |0 − 165| = 165°입니다. 결과가 180°보다 크면 360°에서 뺍니다. 10시 10분은 |300 − 55| = 245°이므로 작은 각도는 360° − 245° = 115°입니다. 5.5는 분침의 빠르기 6°에서 시침의 빠르기 0.5°를 뺀 값, 곧 분침이 1분에 시침을 따라잡는 각도입니다.

각의 종류

작은 각도는 0°부터 180°까지입니다. 0°는 두 바늘이 겹친 상태, 0°보다 크고 90°보다 작으면 예각, 90°는 직각, 90°보다 크고 180°보다 작으면 둔각, 180°는 두 바늘이 일직선인 평각입니다. 큰 쪽 각도처럼 180°보다 크고 360°보다 작은 각은 우각이라고 부릅니다.

시각별 각도 표

정수 분을 넣으면 시침은 0.5° 단위로 놓이므로 7.5°나 5.5° 같은 값은 반올림한 값이 아니라 정확한 값입니다. 3시 15분에 두 바늘이 겹치지 않는 것도 같은 이유입니다. 분침은 숫자 3(90°)에 있지만 시침은 15분 동안 7.5°를 더 가서 97.5°에 있습니다.

두 바늘이 겹치는 시각 구하기

"5시와 6시 사이에 두 바늘이 겹치는 시각은?" 같은 문제는 중학교 수학의 일차방정식 활용 문제로 자주 나옵니다. 5시 정각에 시침은 150°에 있고 분침은 0°에 있습니다. 분침은 1분에 시침보다 5.5°씩 더 가므로, 150°를 따라잡는 데 걸리는 시간 x분은 5.5x = 150에서 x = 300/11 = 27 3/11분입니다. 답은 5시 27 3/11분이고, 3/11분을 초로 바꾸면 16 4/11초이므로 약 5시 27분 16.4초입니다.

같은 방법으로 h시와 h+1시 사이에 두 바늘 사이가 θ가 되는 시각은, 분침이 정각 차이 30h°보다 θ만큼 덜 가거나 더 간 순간입니다. 식으로 쓰면 5.5x = 30h − θ 또는 5.5x = 30h + θ이고(한 바퀴를 넘으면 360°를 더하거나 뺍니다), x = 2(30h ± θ) ÷ 11분입니다. 그래서 답은 대부분 11분의 몇 분으로 떨어집니다. 이 계산기의 '각도 → 시각'은 이 식을 분수 그대로 풀어 대분수와 초로 보여 줍니다.

겹치는 시각은 12시간에 11번이고 간격은 720/11분, 곧 65 5/11분(약 1시간 5분 27초)으로 일정합니다. 11시와 12시 사이에는 겹치는 시각이 없고 12시 정각에 겹칩니다. 하루(24시간)로는 22번 겹칩니다.

일직선도 12시간에 11번입니다. 5시와 6시 사이에는 일직선이 되는 순간이 없고 6시 정각에 일직선이 됩니다. 직각(90°)은 한 시간에 보통 두 번씩, 12시간에 22번 생깁니다. 2시와 3시 사이에는 2시 27 3/11분 한 번뿐이고 다음 직각이 3시 정각이며, 8시와 9시 사이도 8시 27 3/11분 다음이 9시 정각입니다.

그래서 하루에 두 바늘은 22번 겹치고, 44번 직각이 되고, 22번 일직선이 됩니다. 분침은 하루에 24바퀴, 시침은 2바퀴를 도는데, 분침이 시침을 따라잡는 횟수는 그 차이인 22번이기 때문입니다. 계산기 맨 아래 그래프에서 0°에 닿는 꼭짓점과 180°에 닿는 꼭짓점을 세어 보면 같은 결과가 보입니다.

자주 틀리는 경우

• 시침을 숫자에 고정하는 경우: 3시 20분을 숫자 3과 4 사이 한 칸(30°)으로 답하면 틀립니다. 20분 동안 시침도 10° 움직였으므로 답은 20°입니다. 12시 30분을 180°로 답하는 것도 같은 실수이며, 정답은 165°입니다.
• 큰 쪽 각도를 답으로 쓰는 경우: 10시 10분처럼 위치 차이가 180°를 넘으면(245°) 360°에서 빼야 작은 각도(115°)가 됩니다. 문제에서 '두 바늘이 이루는 각 중 작은 쪽'을 묻는지 먼저 확인하세요.
• 바늘 사이 각과 바늘이 돈 각을 섞는 경우: 2시부터 4시까지 분침이 돈 각은 720°지만, 4시 정각에 두 바늘 사이의 각은 120°입니다. 바늘이 움직인 양과 두 바늘이 벌어진 정도는 서로 다른 값입니다.
• 겹치는 시각을 정수 분으로 답하는 경우: 2시와 3시 사이에 겹치는 시각은 2시 11분이 아니라 2시 10 10/11분입니다. 2시 11분에는 시침이 65.5°, 분침이 66°에 있어 0.5° 어긋납니다.
• 오전·오후나 24시간 표기를 따로 계산하는 경우: 오후 3시 20분(15시 20분)과 오전 3시 20분은 바늘 위치가 같아 각도도 같습니다. 자정과 정오는 모두 12시로 셉니다.

한계

• 두 바늘이 일정한 빠르기로 쉬지 않고 도는 12시간 아날로그 시계를 기준으로 합니다. 바늘이 한 칸씩 끊어 움직이는 실제 시계는 보는 순간에 따라 계산값과 조금 다를 수 있습니다.
• 시각은 시·분·초 정수로 넣습니다. 0.5초 같은 소수 초는 받지 않고, '각도 → 시각'에서 찾은 시각은 분수로 정확하게 보여 줍니다.
• '각도 → 시각'의 각도는 소수 셋째 자리까지 받습니다. 시침과 초침, 분침과 초침 사이의 각도는 계산하지 않습니다.
• 사진 속 시계를 읽는 기능은 없습니다. 사진을 각도기로 재면 바늘 두께와 촬영 각도 때문에 계산값과 다르게 보일 수 있습니다.
• 지금 시각은 이 기기의 시계를 그대로 씁니다. 입력값은 이 기기 브라우저에서만 계산하고 어디에도 보내지 않으며, 링크 복사를 누르면 입력값이 주소에 들어갑니다.

기준: 바늘의 빠르기와 각의 정의는 해마다 바뀌는 값이 아닙니다. 아래 자료는 2026년 10월 21일에 원문을 확인했습니다.

출처

• 01University of Colorado Boulder, Math 1120 Review 3 Solutions9번 풀이: 시침은 1분에 0.5°, 분침은 1분에 6°(1/60 × 360°)를 움직임
• 02NRICH (University of Cambridge), Watch the Clock시침은 (360 ÷ 12) ÷ 60 = 0.5°씩 1분에 움직이고, 분침이 시침을 따라잡는 식을 세움
• 03Wikipedia, Clock angle problemθ = |0.5° × (60H − 11M)|, 180°보다 크면 360°에서 뺌
• 04금성출판사 티칭백과, 시계에 대한 일차방정식의 활용분침은 1분에 6°, 시침은 1분에 0.5° 움직이며 일차방정식으로 시계 문제를 해결함
• 05위키백과 일본어판, 時計算5시 정각 150°를 1분 5.5°로 따라잡아 27 3/11분 = 27분 16 4/11초 뒤에 겹침
• 06BIPM, The International System of Units (SI Brochure, 9th edition)표 8: 1 h = 60 min = 3600 s, 1° = (π/180) rad
• 07Wolfram MathWorld, Obtuse Angle · Acute Angle · Straight Angle예각은 90°보다 작은 각, 둔각은 90°보다 크고 180°보다 작은 각, 평각은 180°
• 08University of Chicago, Everyday Mathematics: reflex angle우각: 180°와 360° 사이의 각

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