삼각함수 계산기

sin θ는 단위원 위 점의 y좌표, cos θ는 x좌표, tan θ는 기울기입니다

원점을 중심으로 하는 반지름 1인 원(단위원)에서, x축의 양의 방향부터 시계 반대 방향으로 θ만큼 돌린 반지름의 끝을 P(x, y)라고 하면 sin θ = y, cos θ = x, tan θ = y/x입니다. 30°를 예로 들면 P = (√3/2, 1/2)이므로 sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0.866025, tan 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = √3/3 ≈ 0.57735입니다. 나머지 세 함수는 이 값들의 역수로, csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = cos θ/sin θ입니다.

위 계산기에 각도를 넣으면 여섯 값을 한 번에 보여 줍니다. 15°의 배수(0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 120° …)는 √가 들어간 정확한 값과 소수를 함께, 그 밖의 각은 소수를 보여 줍니다. 각도는 도(°)나 라디안으로 넣을 수 있고, 라디안은 5π/6이나 pi/4처럼 π를 써서 넣어도 됩니다. 아래 그림에서는 단위원 위의 점 P와, 그 원을 0°부터 360°까지 펼친 그래프가 같은 높이로 나란히 움직입니다. 반대로 sin θ = 1/2처럼 값을 알고 각을 찾아야 할 때는 '값 → 각도'를 고르면 됩니다.

삼각함수 값이 필요한 상황

• 경사로와 비탈의 각도: 기울기는 '높이 ÷ 수평 거리'이고, 이 값이 바로 tan θ입니다. 「장애인ㆍ노인ㆍ임산부 등의 편의증진 보장에 관한 법률 시행규칙」 별표 1은 경사로의 기울기를 12분의 1 이하로 하도록 정하고 있습니다. tan θ = 1/12에서 θ = arctan(1/12) ≈ 4.763642°이고, 같은 별표가 정한 접근로 기울기 18분의 1은 약 3.179830°입니다. 별표는 높이 0.75 m 이내마다 쉴 수 있는 참을 두도록 하므로, 12분의 1 경사로로 0.75 m를 오르려면 수평 거리 9 m가 필요하고 비탈면 길이는 0.75 ÷ sin 4.763642° ≈ 9.031 m가 됩니다.
• 힘이나 속도를 가로·세로로 나누기: 비스듬한 방향의 힘은 cos θ와 sin θ로 나눕니다. 수평에서 30° 위로 100 N을 당기면 수평 성분은 100 × cos 30° ≈ 86.6 N, 수직 성분은 100 × sin 30° = 50 N입니다. 물리 문제에서 빗면의 물체, 비스듬히 던진 공의 속도를 다룰 때 같은 계산을 씁니다.
• 올려본각으로 높이 재기: 나무에서 20 m 떨어진 곳에서 꼭대기를 35° 위로 올려다봤다면 눈높이 위로 올라간 높이는 20 × tan 35° ≈ 14.0 m입니다. 거리와 각만 알면 직접 오르지 않고 높이를 셀 수 있습니다.
• 회전한 좌표 구하기: 점 (x, y)를 원점 중심으로 θ만큼 돌리면 (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ)가 됩니다. 점 (3, 0)을 30° 돌리면 (3 × √3/2, 3 × 1/2) ≈ (2.598, 1.5)입니다. 게임·그래픽 코드에서 물체를 돌리거나 원 위에 점을 고르게 놓을 때 이 식을 씁니다.
• 숙제와 시험 풀이 확인: 150°, 210°, −30°처럼 90°를 넘거나 음수인 각은 사분면과 기준각을 거쳐 부호를 정해야 해서 실수가 잦습니다. 계산기의 '풀이'는 한 바퀴 안으로 줄이기 → 사분면 → 기준각 → 부호 순서로 과정을 보여 줍니다.

쓰는 법

1. 위쪽에서 '각도 → 값'과 '값 → 각도' 중 하나를 고르고, 각도 단위(도 또는 라디안)와 소수 자리(4·6·10)를 고릅니다. 학교 삼각비 표처럼 보려면 소수 4자리를 고르면 됩니다.
2. '각도 θ' 칸에 각을 넣습니다. 도는 150, −30, 22.5처럼, 라디안은 1.2, 5π/6, pi/4, 5/6π처럼 넣습니다. 라디안을 고르면 칸 옆에 π 단추가 생깁니다. 자주 쓰는 각 단추를 눌러도 됩니다.
3. 여섯 값 카드에서 값을 읽습니다. 카드 하나를 누르면 그 함수가 단위원 위의 어느 선분인지, 펼친 그래프에서 어떤 곡선인지 함께 바뀝니다. 값이 없는 칸에는 '정의 안 됨'과 그 이유(x = 0 또는 y = 0이라 나눌 수 없음)가 나옵니다.
4. 그림의 점 P를 끌거나 그래프를 누르면 각이 바뀝니다. 15°의 배수에서 2° 안쪽이면 그 각에 맞춰지고, 점 P를 고른 뒤 방향키로 1°씩, Page Up·Page Down으로 15°씩 움직일 수 있습니다.
5. '값 → 각도'에서는 sin·cos·tan 중 하나를 고르고 값을 넣습니다. 1/2, √3/2, −√2/2, 1/√3, 0.3처럼 넣으면 되고 √ 대신 sqrt를 써도 됩니다. 주값, 0° 이상 360° 미만의 해, 일반해가 나오고, 해 단추를 누르면 그 각으로 '각도 → 값'을 엽니다.
6. 결과 복사는 여섯 값(또는 해)을 글로, 링크 복사는 지금 입력이 담긴 주소를, 이미지 저장은 단위원과 여섯 값을 PNG 그림으로 저장합니다.

계산 방법

정의: 단위원과 여섯 함수

단위원 위의 점 P(x, y)에서 sin θ = y, cos θ = x이고, 나머지 넷은 이 둘로 정의합니다. tan θ = sin θ/cos θ, csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = cos θ/sin θ입니다(NIST DLMF 4.14.4~4.14.7). 그래서 cos θ = 0인 90°, 270°에서는 tan θ와 sec θ가, sin θ = 0인 0°, 180°에서는 cot θ와 csc θ가 정의되지 않습니다. 0°보다 크고 90°보다 작은 각에서는 직각삼각형의 변의 비와 같습니다. 빗변이 1인 직각삼각형에서 높이가 y, 밑변이 x이기 때문에 sin θ = 높이/빗변, cos θ = 밑변/빗변, tan θ = 높이/밑변이 됩니다.

도와 라디안

한 바퀴는 360°이고 2π rad입니다. 그래서 180° = π rad, 1° = π/180 rad ≈ 0.017453 rad, 1 rad = 180°/π ≈ 57.29578°입니다. 150°는 150 × π/180 = 5π/6 rad이고, 5π/6 rad는 5/6 × 180° = 150°입니다. 계산기는 π가 들어간 라디안을 도로 바꿀 때 분수로 정확히 바꾸므로 7π/6가 210°로 정확히 계산되고, 1.2처럼 π 없이 넣은 라디안은 소수 근삿값으로 계산합니다.

사분면, 기준각, 부호

1. 한 바퀴 안으로 줄이기: 360°를 더하거나 빼도 점 P의 위치는 같습니다. −30°는 330°, 750°는 30°와 같은 값을 가집니다.
2. 사분면과 기준각: 기준각은 반지름 OP가 x축과 이루는 예각입니다. 제2사분면이면 180° − θ, 제3사분면이면 θ − 180°, 제4사분면이면 360° − θ입니다.
3. 부호: x와 y의 부호로 정해집니다. 제1사분면은 여섯 함수가 모두 양수, 제2사분면은 sin·csc만, 제3사분면은 tan·cot만, 제4사분면은 cos·sec만 양수입니다.
4. 값: 기준각의 값에 부호를 붙입니다. 210°는 제3사분면이고 기준각이 30°이므로 sin 210° = −sin 30° = −1/2, cos 210° = −cos 30° = −√3/2, tan 210° = tan 30° = √3/3입니다.

15°와 75°의 정확한 값

15° = 45° − 30°이므로 덧셈정리 sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β를 쓰면 sin 15° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4 ≈ 0.258819입니다. 같은 방법으로 cos 15° = (√6 + √2)/4, tan 15° = 2 − √3이고, 75°는 sin θ와 cos θ, tan θ와 cot θ가 서로 바뀝니다. 계산기는 이 값들과 30°·45°·60° 값을 표로 들고 있다가 기준각이 15°의 배수일 때 그대로 꺼내 씁니다. tan 30° = 1/√3처럼 분모에 √가 남는 값은 분모를 유리화해 √3/3으로 적습니다.

소수 값의 정밀도

15°의 배수가 아닌 각은 기준각의 sin·cos·tan 값을 배정밀도 부동소수점으로 계산한 뒤 고른 자리에서 반올림합니다. 기준각으로 계산하므로 sin 150°와 sin 30°처럼 대칭인 각은 소수 끝자리까지 같은 값이 나오고, 0.5나 1처럼 끝나는 값이면 '=', 반올림한 값이면 '≈'를 붙입니다.

특수각 표 (0°~360°)

표에서 sin 30° = cos 60°, tan 15° = cot 75°처럼 더해서 90°가 되는 두 각은 sin θ와 cos θ, tan θ와 cot θ가 서로 바뀝니다. 이 관계는 sin(90° − θ) = cos θ에서 나옵니다.

삼각비 표 (0°~90°, 5° 간격)

1° 단위 값이나 소수 6자리 이상이 필요하면 위 계산기에 각을 넣고 소수 자리를 고르면 됩니다. 90°에 가까워질수록 tan 값이 빠르게 커져서 85°에서 11.4301, 89°에서 약 57.29입니다.

값으로 각 구하기 (역삼각함수)

sin θ = 1/2를 만족하는 θ는 하나가 아닙니다. 단위원에서 높이가 1/2인 점은 30°와 150° 두 곳에 있고, 360°마다 같은 자리로 돌아오기 때문입니다. 그래서 계산기는 먼저 정해진 범위 안의 값 하나(주값)를 구한 뒤 나머지 해를 대칭으로 찾습니다.

• 주값의 범위: arcsin x는 −90°부터 90°까지, arccos x는 0°부터 180°까지, arctan x는 −90°보다 크고 90°보다 작은 범위에서 값을 하나 고릅니다. NIST DLMF 표 4.23.1에서도 arcsin(±1) = ±π/2, arccos(−1) = π, arccos 1 = 0입니다.
• 두 번째 해: sin θ는 180° − θ, cos θ는 360° − θ, tan θ는 θ + 180°에서 같은 값이 다시 나옵니다.
• 일반해: sin θ·cos θ는 각 해에 360°n을, tan θ는 180°n을 더합니다(n은 정수). 라디안으로는 2πn과 πn입니다.

sin θ와 cos θ의 값은 −1부터 1까지만 나오므로 sin θ = 1.2 같은 식은 실수 해가 없습니다. csc·sec·cot 값으로 각을 찾을 때는 역수를 취해 sin·cos·tan으로 바꿔 넣으면 됩니다. csc θ = 2라면 sin θ = 1/2입니다.

자주 틀리는 경우

• 계산기나 엑셀이 라디안으로 계산하는 경우: 엑셀의 SIN 함수는 라디안을 받습니다. =SIN(30)은 30 rad의 사인이라 약 −0.988이 나오고, 30°의 사인은 =SIN(30*PI()/180) 또는 =SIN(RADIANS(30))으로 계산해야 0.5가 나옵니다. 공학용 계산기도 DEG·RAD 모드가 바뀌어 있으면 같은 일이 생깁니다.
• tan 90°를 아주 큰 수로 적는 경우: tan 90°는 cos 90° = 0으로 나눠야 해서 정의되지 않습니다. 프로그래밍 언어에서 Math.tan(Math.PI / 2)를 계산하면 16331239353195370 같은 큰 수가, Math.cos(Math.PI / 2)는 0이 아닌 6.123233995736766e-17이 나옵니다. π를 소수로 끊어 넣은 근삿값이라서 생기는 차이입니다. 이 계산기는 90°, 270°처럼 정확히 축 위에 있는 각을 정확하게 판정합니다.
• sin⁻¹을 1/sin으로 읽는 경우: sin⁻¹ x는 arcsin x, 곧 사인이 x가 되는 각을 뜻합니다. 1/sin x는 csc x입니다. 같은 이유로 sin²θ는 (sin θ)²이고 sin θ²는 sin(θ²)라서 서로 다릅니다.
• 해를 하나만 적는 경우: sin θ = 1/2에서 30°만 적고 150°를 빠뜨리는 실수가 흔합니다. 문제의 범위(0° ≤ θ < 360°, 0 ≤ θ < 2π 등)를 먼저 확인하고 대칭인 두 번째 해를 찾으세요.
• 사분면의 부호를 놓치는 경우: cos 120°를 cos 60°와 같은 1/2로 적으면 틀립니다. 120°는 제2사분면이라 x좌표가 음수이므로 cos 120° = −1/2입니다.

한계

• √가 들어간 정확한 값은 기준각이 15°의 배수일 때만 보여 줍니다. 18°, 36°, 72°처럼 다른 정확한 형태가 있는 각도 소수로만 나옵니다.
• π 없이 넣은 라디안(1.2 등)과 15°의 배수가 아닌 각은 배정밀도 부동소수점으로 계산한 근삿값입니다. 소수 10자리까지는 믿을 수 있지만 그보다 깊은 자리는 보장하지 않습니다.
• 각도는 ±1,000,000° 안에서만 계산합니다. 라디안도 같은 각 범위로 제한합니다.
• 값 → 각도는 sin·cos·tan만 다루고, 실수 해만 찾습니다. 복소수 각은 계산하지 않습니다.
• 입력값은 이 기기 브라우저에서만 계산하고 어디에도 보내지 않습니다. 링크 복사를 누르면 입력값이 주소에 들어갑니다.

기준: 삼각함수의 정의와 각 단위는 해마다 바뀌는 값이 아닙니다. 경사로·접근로 기울기는 2026년 10월 20일 기준 현행 시행규칙(2026년 7월 2일 시행) 별표 1에서, 수학 정의와 엑셀 함수 설명은 같은 날 원문에서 확인했습니다.

출처

• 01NIST DLMF §4.14 — Trigonometric Functions: Definitions and Periodicity4.14.4 tan = sin/cos, 4.14.5 csc = 1/sin, 4.14.6 sec = 1/cos, 4.14.7 cot = cos/sin = 1/tan
• 02NIST DLMF §4.23 — Inverse Trigonometric Functions4.23(ii) 주값, 표 4.23.1 arcsin(±1) = ±π/2, arccos(−1) = π, arccos 1 = 0, arctan(±∞) = ±π/2
• 03Wolfram MathWorld — Trigonometry Angles: Pi/12sin(π/12) = (√6 − √2)/4, cos(π/12) = (√6 + √2)/4, tan(π/12) = 2 − √3, csc = √6 + √2, sec = √6 − √2
• 04Wolfram MathWorld — Inverse Sinesin⁻¹ x는 arcsin x와 같고, 위 첨자 −1은 역함수를 뜻하며 역수가 아님
• 05BIPM — The International System of Units (SI Brochure, 9th edition)표 8: 1° = (π/180) rad
• 06Microsoft Support — SIN function각이 도이면 PI()/180을 곱하거나 RADIANS 함수로 바꿈, =SIN(30*PI()/180) = 0.5
• 07국가법령정보센터 — 장애인ㆍ노인ㆍ임산부 등의 편의증진 보장에 관한 법률 시행규칙제2조, 별표 1 제1호 나목 접근로 기울기 18분의 1 이하, 제12호 가목 높이 0.75 m 이내마다 참, 나목 경사로 기울기 12분의 1 이하(기존시설 요건 충족 시 8분의 1까지), 2026-10-20 현행본 확인

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