時計の針の角度計算ツール

3時20分の短針と長針の間の角度は20°です

3時20分に長針は数字の4を指すので、12時の方向から120°離れています。短針は3時ちょうどの90°にとどまっておらず、20分のあいだに10°進んで100°にあります。したがって2本の針の間の小さい角度は120° − 100° = 20°で、反対回りの大きい側の角度は360° − 20° = 340°です。短針が数字の3にあるものとして数えると30°になってしまいますが、これが時計の角度の問題でいちばん多い間違いです。

上の計算機に時と分を入力すると、小さい角度と大きい側の角度、2本の針の位置、鋭角・直角・鈍角といった角の種類がすぐに表示されます。時計の図では、短針が時刻ちょうどの位置からどれだけ進んだかを点線で示し、針の先のつまみをドラッグして時刻を変えることもできます。反対に「2本の針が重なる時刻」や「直角になる時刻」を知りたいときは「角度 → 時刻」を選んでください。2時10 10/11分のように分数になる答えも正確に求めます。このような問題は「時計算」と呼ばれ、算数・数学でおなじみの題材です。

使い方

1. 時刻 → 角度: 時(0〜23)と分を入力します。15時のような24時間表記でもよく、秒を入れると秒に応じた針の動きまで計算します。時・分・秒の欄で上下キーを押すと1ずつ変わり、59分でもう一度上げると次の時の0分になります。
2. 時計の図: 長針の先の小さなつまみをドラッグすると1分単位で、短針の先の太いつまみをドラッグすると短針の位置に合う時刻に変わります。つまみを選んでから矢印キーを押すと、長針は1分ずつ、短針は1時間ずつ動きます。オレンジ色の扇形が2本の針の間の小さい角度です。
3. 次の重なり・直角・一直線: 結果の下に、いまの時刻の次に2本の針が重なる時刻、直角になる時刻、一直線になる時刻が表示されます。どれかを押すと「角度 → 時刻」の画面に移り、その時刻を求める解き方が見られます。
4. 角度 → 時刻: 2本の針の間の角度(0〜360°)と探す範囲(12時間すべて、または「2時〜3時」のような1時間)を選びます。見つかった時刻を押すと、時計と解き方がその時刻に切り替わります。180°より大きい角度を入れた場合は、同じ意味の小さい角度(360°から引いた値)で探します。
5. 現在時刻: 押すと端末の時計に合わせて1秒ごとに更新し、角度が変わるようすを見せます。もう一度押すか、欄を書き換えると止まります。
6. グラフ: 一番下のグラフは、12時から12時間のあいだに2本の針の間の小さい角度がどう上下するかを示します。グラフを押すとその時刻を計算します。結果のコピーは角度や見つかった時刻を文章で、リンクのコピーはいまの入力を含むアドレスをコピーします。

計算のしくみ

針が1分間に回る角度

長針は60分で1周(360°)するので、1分に6°進みます。短針は12時間、つまり720分で1周するので、1時間に30°、1分に0.5°進みます。秒まで考えると、長針は1秒に0.1°、短針は1秒に1/120°(0.5° ÷ 60)です。日本語版Wikipediaの「時計算」でも、長針は1分に6度、短針は1分に0.5度として扱っています。針は正時ごとに1目盛りずつ飛ぶのではなく、この速さで止まらずに回るものとして考えます。

2本の針の位置

位置は12時の方向を0°として、時計回りに測ります。時をh、分をmとすると次のとおりです。12時は0時と同じ位置から出発するので、hには12で割った余りを入れます。

• 短針の位置 = 30° × h + 0.5° × m (秒sがあれば + 0.5° × s/60)
• 長針の位置 = 6° × m (秒sがあれば + 0.1° × s)

小さい角度と大きい側の角度

2つの位置の差をdとすると、dが180°以下ならdが小さい角度、180°を超えるなら360° − dが小さい角度です。2本の針を円に沿ってつなぐ道は2通りあり、2つの角を足すと必ず360°になります。9時30分を例にすると、短針は285°、長針は180°にあり、差が105°なので、小さい角度は105°、大きい側の角度は255°です。

1行の公式

2つの位置を引いて整理すると、角度 = |30h − 5.5m|になります。3時20分は|90 − 110| = 20°、12時30分は|0 − 165| = 165°です。結果が180°より大きければ360°から引きます。10時10分は|300 − 55| = 245°なので、小さい角度は360° − 245° = 115°です。5.5は長針の速さ6°から短針の速さ0.5°を引いた値、つまり長針が1分間に短針へ追いつく角度です。

角の種類

小さい角度は0°から180°までです。0°は2本の針が重なった状態、0°より大きく90°より小さければ鋭角、90°は直角、90°より大きく180°より小さければ鈍角、180°は2本の針が一直線になる平角です。大きい側の角度のように180°より大きく360°より小さい角は優角と呼びます。

時刻別の角度の表

分を整数で入れると短針は0.5°単位の位置になるので、7.5°や5.5°のような値は四捨五入した値ではなく正確な値です。3時15分に2本の針が重ならないのも同じ理由です。長針は数字の3(90°)にありますが、短針は15分のあいだに7.5°進んで97.5°にあります。

2本の針が重なる時刻の求め方

「5時と6時の間で、長針と短針が重なるのは何時何分ですか」という問題は、旅人算を時計の文字盤に当てはめた「時計算」の定番です。5時ちょうどに短針は150°、長針は0°にあります。長針は1分に短針より5.5°多く進むので、150°に追いつくまでの時間x分は、5.5x = 150からx = 300/11 = 27 3/11分です。答えは5時27 3/11分で、3/11分を秒に直すと16 4/11秒なので、約5時27分16.4秒になります。日本語版Wikipediaの「時計算」にも、この例が5時27 3/11分 = 27分16 4/11秒として載っています。

同じ方法で、h時とh+1時の間に2本の針の間がθになる時刻は、長針が正時の差30h°よりθだけ手前か先にいる瞬間です。式にすると5.5x = 30h − θ または5.5x = 30h + θ(1周をまたぐときは360°を足すか引きます)で、x = 2(30h ± θ) ÷ 11分になります。そのため答えはたいてい11分の何分という分数になります。この計算機の「角度 → 時刻」は、この式を分数のまま解いて、帯分数と秒で表示します。

2本の針が重なるのは12時間に11回で、間隔は720/11分、つまり65 5/11分(約1時間5分27秒)で一定です。11時と12時の間には重なる時刻がなく、12時ちょうどに重なります。1日(24時間)では22回重なります。

一直線になるのも12時間に11回です。5時と6時の間には一直線になる瞬間がなく、6時ちょうどに一直線になります。直角(90°)は1時間にふつう2回ずつ、12時間に22回あります。2時と3時の間は2時27 3/11分の1回だけで、次の直角は3時ちょうどです。8時と9時の間も8時27 3/11分の次が9時ちょうどです。

したがって1日のうちに、2本の針は22回重なり、44回直角になり、22回一直線になります。長針は1日に24周、短針は2周するので、長針が短針に追いつく回数はその差の22回だからです。計算機の一番下のグラフで、0°に届く谷と180°に届く山を数えても同じ結果になります。

間違えやすいところ

• 短針を数字に固定してしまう: 3時20分を数字の3と4の間の1目盛り(30°)と答えると間違いです。20分のあいだに短針も10°動くので、答えは20°です。12時30分を180°と答えるのも同じ間違いで、正しくは165°です。
• 大きい側の角度を答えにしてしまう: 10時10分のように位置の差が180°を超える場合(245°)は、360°から引いて小さい角度(115°)にします。問題が「2本の針がつくる角のうち小さい方」を聞いているかどうかを先に確かめましょう。
• 針の間の角と針が回った角を混同する: 2時から4時までに長針が回った角は720°ですが、4時ちょうどの2本の針の間の角は120°です。針が動いた量と、2本の針が開いている程度は別の値です。
• 重なる時刻を整数の分で答えてしまう: 2時と3時の間で重なる時刻は2時11分ではなく、2時10 10/11分です。2時11分には短針が65.5°、長針が66°にあり、0.5°ずれています。
• 午前・午後や24時間表記を別々に計算する: 午後3時20分(15時20分)と午前3時20分は針の位置が同じなので、角度も同じです。午前0時と正午はどちらも12時として数えます。

この計算機の限界

• 2本の針が一定の速さで止まらずに回る12時間のアナログ時計を基準にしています。針が1目盛りずつ飛ぶ実際の時計では、見る瞬間によって計算値と少し違うことがあります。
• 時刻は時・分・秒の整数で入力します。0.5秒のような小数の秒は受け付けず、「角度 → 時刻」で見つかった時刻は分数のまま正確に表示します。
• 「角度 → 時刻」の角度は小数第3位まで受け付けます。短針と秒針、長針と秒針の間の角度は計算しません。
• 写真に写った時計を読み取る機能はありません。写真を分度器で測ると、針の太さや撮影の角度のせいで計算値と違って見えることがあります。
• 現在時刻は端末の時計をそのまま使います。入力値はこの端末のブラウザー内だけで計算し、どこにも送りません。リンクをコピーすると、入力値がアドレスに入ります。

基準: 針の速さと角の定義は、年によって変わる値ではありません。下の資料は2026年10月21日に原文を確認しました。

出典

• 01University of Colorado Boulder, Math 1120 Review 3 Solutions9番の解答: 短針は1分に0.5°、長針は1分に6°(1/60 × 360°)進む
• 02NRICH (University of Cambridge), Watch the Clock短針は1分に(360 ÷ 12) ÷ 60 = 0.5°進み、長針が短針に追いつく式を立てる
• 03Wikipedia, Clock angle problemθ = |0.5° × (60H − 11M)|、180°より大きければ360°から引く
• 05Wikipedia 日本語版, 時計算旅人算を時計の文字盤に当てはめた考え方。長針は1分に6度、短針は1分に0.5度で、5時27 3/11分 = 27分16 4/11秒に重なる
• 06BIPM, The International System of Units (SI Brochure, 9th edition)表8: 1 h = 60 min = 3600 s、1° = (π/180) rad
• 07Wolfram MathWorld, Obtuse Angle · Acute Angle · Straight Angle鋭角は90°より小さい角、鈍角は90°より大きく180°より小さい角、平角は180°
• 08University of Chicago, Everyday Mathematics: reflex angle優角(reflex angle): 180°と360°の間の角

よくある質問

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