원주율 계산기

반지름 5 cm인 원의 원주는 31.4 cm, 넓이는 78.5 cm²입니다

원주율을 3.14로 하면 반지름 5 cm인 원의 원주(둘레)는 지름 10 cm × 3.14 = 31.4 cm이고, 넓이는 5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm²입니다. 원주율을 π 그대로 쓰면 원주는 약 31.415927 cm, 넓이는 약 78.539816 cm²로 조금 커집니다. 3.14가 π(3.14159…)보다 0.0016쯤 작기 때문입니다.

위 계산기는 반지름, 지름, 원주, 넓이 중 아는 값 하나만 넣으면 나머지 세 칸을 채웁니다. 오른쪽 '원주율'에서 π, 3.14, 3.1, 3, 22/7 가운데 문제에서 정한 값을 고르면 결과와 풀이가 그 값으로 바뀌고, 다섯 값으로 계산한 결과도 나란히 볼 수 있습니다. 3.14나 22/7로 계산한 값은 분수 그대로 계산하므로 넓이 78.5에서 반지름을 구하면 4.999…가 아니라 정확히 5가 나옵니다.

쓰는 법

1. 아는 값 넣기: 반지름, 지름, 원주(둘레), 넓이 중 문제에 나온 값 하나를 그 칸에 넣습니다. 넣은 칸에는 '넣은 값' 표시가 붙고, 나머지 칸은 계산값으로 바뀝니다. 다른 칸에 새로 넣으면 그 칸이 기준이 됩니다.
2. 원주율 고르기: 숙제에서 '원주율은 3.14로 계산하세요'처럼 값을 정해 주면 그 값을 고르세요. 목록의 각 줄에는 그 원주율로 계산한 결과가 미리 나와 있어서, 3.14와 π의 차이가 얼마나 되는지 바로 비교할 수 있습니다. 위아래 방향키로도 고를 수 있습니다.
3. 단위: cm, m, in 같은 단위를 고르면 결과 뒤에 붙고, 넓이에는 cm²처럼 제곱 단위가 붙습니다. 단위를 바꿔도 숫자를 변환하지는 않습니다.
4. 그림 보기: '둘레 펼치기'는 원을 한 바퀴 굴려 원주가 지름의 약 3.14배임을, '넓이 펼치기'는 원을 조각내어 번갈아 붙이면 직사각형에 가까워지는 모습을 보여 줍니다. 조각 수를 8에서 64까지 바꿔 보고, '다시 보기'로 움직임을 다시 볼 수 있습니다.
5. 풀이 확인: 풀이 칸에 '원주 = 지름 × 원주율 = 10 × 3.14 = 31.4 cm'처럼 숫자를 넣은 식이 나옵니다. 반지름이나 지름을 넣었으면 10π cm, 25π cm²처럼 π를 남긴 답도 함께 나옵니다.
6. 원주율 구하기: 맨 아래에서 정다각형의 변 수를 늘려 π를 좁혀 가는 과정을 보거나, 컵의 둘레와 지름을 직접 재어 넣고 둘레 ÷ 지름이 π에 얼마나 가까운지 확인할 수 있습니다. 결과 복사는 네 값을, 링크 복사는 지금 입력이 담긴 주소를 복사합니다.

계산 방법

원주율의 뜻

원주율은 원의 둘레(원주)를 지름으로 나눈 값입니다. 작은 동전이든 큰 바퀴든 원주 ÷ 지름은 언제나 같은 수 3.14159265…가 되고, 이 수를 그리스 문자 π(파이)로 씁니다. 원을 한 바퀴 굴리면 지름 3개만큼 가고도 지름의 약 0.14배를 더 가는데, 위 '둘레 펼치기' 그림이 바로 그 모습입니다.

원주 구하기

원주율 = 원주 ÷ 지름이므로 거꾸로 원주 = 지름 × 원주율입니다. 지름은 반지름의 2배이니 반지름을 알면 원주 = 반지름 × 2 × 원주율, 문자로 쓰면 C = 2πr입니다. 반지름 5 cm라면 5 × 2 × 3.14 = 31.4 cm입니다.

넓이 구하기

원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 원주율, 문자로 A = πr²입니다. 원을 부채꼴 모양으로 잘게 잘라 위아래로 번갈아 붙이면 가로가 원주의 반(πr), 세로가 반지름(r)인 직사각형에 가까워집니다. 조각을 많이 낼수록 반듯해지므로 넓이는 가로 × 세로 = πr × r = πr²이 됩니다. 반지름 5 cm라면 5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm²입니다.

거꾸로 구하기

원주를 알면 지름 = 원주 ÷ 원주율로 지름을 구하고, 반으로 나눠 반지름을 얻습니다. 넓이를 알면 넓이 ÷ 원주율 = 반지름 × 반지름이므로 그 값의 제곱근이 반지름입니다. 예를 들어 넓이 78.5 cm²에 원주율 3.14를 쓰면 78.5 ÷ 3.14 = 25이고, 5 × 5 = 25이므로 반지름은 5 cm입니다. 같은 넓이라도 π 그대로 계산하면 반지름은 약 4.998732 cm가 되니, 문제에서 정한 원주율로 거꾸로 계산해야 깔끔한 답이 나옵니다.

반지름별 원주와 넓이

π 열은 소수 일곱째 자리에서 반올림한 값입니다. 반지름 2 cm일 때 원주와 넓이의 숫자가 같은 것은 우연이 아닙니다. 2πr과 πr²은 r = 2에서 같아지기 때문이며, 물론 단위는 cm와 cm²로 다릅니다.

원주율은 어떤 값을 써야 할까

2022 개정 수학과 교육과정은 초등학교 5~6학년에서 여러 원 모양 물체의 원주와 지름을 재어 원주율이 일정한 값임을 알고 근삿값을 쓰도록 하고, 해설에서 원주율의 근삿값으로 3.14를 쓰게 합니다. 그래서 초등 숙제는 대부분 3.14로 계산합니다. 문제에서 3이나 3.1로 정해 주면 그 값을 쓰고, π를 문자로 남겨 '25π cm²'처럼 답하라고 하면 계산기 풀이 아래의 π 꼴을 보세요.

• 3.14: 초등 교과서와 일상 어림에 가장 많이 씁니다. 결과는 π로 계산한 값보다 0.05%쯤 작습니다.
• 3이나 3.1: 암산으로 대강의 크기를 볼 때 씁니다. 3은 실제보다 4.5%쯤 작아서, 둘레에 맞춰 끈을 자르면 모자랍니다.
• 22/7: 반지름이나 지름이 7의 배수이면 약분되어 계산이 깔끔합니다. 지름 14 cm라면 원주는 14 × 22/7 = 44 cm, 넓이는 7 × 7 × 22/7 = 154 cm²입니다. π보다 0.04%쯤 큽니다.
• π 그대로: 둘레에 맞춰 재료를 자르거나 설계 치수를 정할 때처럼 정확해야 하면 π 그대로 계산하세요. 이 계산기는 브라우저의 Math.PI(3.141592653589793)를 씁니다.

원주율은 어떻게 구했을까

가장 쉬운 방법은 직접 재는 것입니다. 컵이나 캔에 실을 한 바퀴 감아 둘레를 재고 자로 지름을 재서 나누면 3.1 언저리가 나옵니다. 다만 1 mm만 잘못 재도 지름 8 cm인 컵에서는 결과가 1.25%쯤 달라지므로, 소수 둘째 자리 이상은 재는 것만으로 맞추기 어렵습니다.

기원전 3세기 아르키메데스는 재지 않고 계산으로 π를 좁혔습니다. 원 안쪽과 바깥에 정육각형을 그리면 원의 둘레는 두 다각형 둘레 사이에 있습니다. 변의 수를 두 배씩 늘리면 두 둘레가 원에 붙어 가고, 그는 정96각형에서 223/71 < π < 22/7, 곧 3.1408 < π < 3.1429를 증명했습니다. 아래 표는 지름 1인 원에서 다각형 둘레를 계산한 값으로, 계산기 맨 아래 '원주율은 어떻게 구할까'에서 정24576각형까지 이어 볼 수 있습니다.

변의 수를 두 배로 늘릴 때마다 차이는 약 4분의 1로 줄어듭니다. 아르키메데스의 223/71과 22/7이 표의 96각형 값보다 조금 넓은 까닭은, 계산 도중 √3 같은 값을 분수로 어림하며 범위가 넓어지는 쪽으로 반올림했기 때문입니다. 265년 무렵 중국 위나라의 유휘는 같은 생각으로 3072각형까지 가서 π를 3.1416으로 어림했고, 480년 무렵 조충지는 3.1415926 < π < 3.1415927을 구하고 355/113이라는 분수를 남겼습니다. 355/113은 소수 여섯째 자리까지 π와 같습니다.

π가 끝없이 이어진다는 것은 1768년 람베르트가 무리수임을 증명하면서 확인되었고, 1882년 린데만은 π가 정수 계수 방정식의 해가 될 수 없는 초월수임을 증명했습니다. 그래서 자와 컴퍼스만으로 원과 넓이가 같은 정사각형을 그릴 수는 없습니다. 오늘날에는 컴퓨터가 빠르게 수렴하는 급수로 π를 수백조 자리까지 계산합니다.

원주율 100자리

원주율을 소수점 아래 100자리까지 열 자리씩 끊어 적으면 다음과 같습니다. 일상 계산에는 3.14나 3.1416이면 충분하고, 이 계산기의 π 그대로 계산도 소수 15자리 정도의 정밀도를 씁니다.

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
  5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

자주 틀리는 경우

• 넓이를 지름으로 구하는 경우: 지름 10 cm인 원의 넓이를 10 × 10 × 3.14 = 314로 계산하면 4배가 됩니다. 넓이는 반지름 5로 5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm²입니다. 문제에 지름이 나오면 먼저 반으로 나누세요.
• 원주와 넓이 식을 섞는 경우: 원주는 지름 × 원주율(반지름 × 2 × 원주율), 넓이는 반지름 × 반지름 × 원주율입니다. 반지름 × 원주율만 하면 원주의 절반이 나옵니다.
• 넓이 단위를 빠뜨리는 경우: 길이가 cm이면 넓이는 cm²입니다. m로 바꿀 때 1 m² = 10,000 cm²이므로 길이처럼 100으로 나누면 틀립니다.
• 문제에서 정한 원주율을 쓰지 않는 경우: '원주율은 3으로 계산하세요'라는 문제를 3.14로 풀면 반지름 5 cm 원의 넓이가 75 cm² 대신 78.5 cm²가 되어 답이 달라집니다.
• 중간에 반올림하는 경우: 원주 20 cm에서 지름 6.369…를 6.4로 반올림하고 넓이를 구하면 32.1536 cm²가 되어, 반올림 없이 구한 약 31.847134 cm²보다 0.3 cm²쯤 커집니다(원주율 3.14). 반올림은 마지막에 한 번만 하세요.

한계

• 단위는 결과에 붙는 표시일 뿐 변환하지 않습니다. 반지름을 cm로 넣고 m로 된 결과가 필요하면 단위 변환기를 함께 쓰세요. 네 칸은 같은 단위로 생각하며, 넓이는 그 단위의 제곱입니다.
• 반지름·지름·원주는 0.001부터 1,000,000까지, 넓이는 1,000,000,000까지, 소수는 여섯째 자리까지 넣을 수 있고 0보다 커야 합니다.
• 결과는 소수 여섯째 자리에서 반올림해 보여 주고, 1보다 작은 값은 유효숫자 6개로 보여 줍니다. 3.14·3.1·3·22/7로 계산한 값은 분수로 정확하게 계산하며, 끝나지 않는 소수이거나 반올림한 값에는 ≈를 붙입니다.
• '직접 재어 나누기'는 넣은 값을 그대로 나눌 뿐 재는 과정의 오차를 바로잡지 않습니다. 원주율 그림과 정다각형 그림은 설명을 위한 것이며 넣은 크기의 실제 축척이 아닙니다.
• 부채꼴의 호와 넓이, 원기둥·구의 겉넓이와 부피, 타원은 계산하지 않습니다. 입력값은 이 기기 브라우저에서만 계산하고 어디에도 보내지 않으며, 링크 복사를 누르면 입력값이 주소에 들어갑니다.

기준: 원주율의 값과 원의 공식은 바뀌는 값이 아닙니다. 교육과정 문장과 아래 자료는 2026년 10월 21일에 원문을 확인했습니다.

출처

• 01Wikipedia, Piπ는 원주 ÷ 지름, 아르키메데스 96각형 223/71 < π < 22/7, 유휘 3072각형 3.1416, 조충지 3.1415926 < π < 3.1415927과 355/113, 람베르트 1768년 무리수·린데만 1882년 초월수 증명
• 02Wolfram MathWorld, Archimedes' Algorithm바깥 다각형 둘레 2n tan(π/n), 안쪽 2n sin(π/n), 정육각형에서 시작해 조화평균·기하평균으로 두 배씩, 96각형 3.14103 < π < 3.14271
• 03Wolfram MathWorld, Pi Approximations3, 22/7, 333/106, 355/113 …은 각각 소수 0, 2, 4, 6자리까지 맞음
• 04OEIS A000796, Decimal expansion of Pi원주율 소수 전개(이 글의 100자리와 대조)
• 05국가교육과정정보센터, 2022 개정 수학과 교육과정 성취기준(초등 5~6학년)[6수03-15] 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정한 값임을 알고 근삿값을 사용, [6수03-16] 원주와 원의 넓이, 해설: 원주율의 근삿값으로 3.14를 사용

자주 묻는 질문

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