Calculadora de derivadas que muestra la regla aplicada en cada paso
Escribe la función en la fila superior, elige la variable y el orden, y la fila inferior se rellena con la derivada, las reglas utilizadas, la pendiente de la tangente en el punto que indiques y la gráfica de la función junto a su derivada. No hay botón de calcular: al editar la función se recalcula todo.
Notación · ln(x) logaritmo neperiano · log(x) logaritmo decimal (base 10) · sen(x) también se acepta sin(x) · 2x el signo de multiplicar es opcional · x^2 potencia · 0.5 el punto es el separador decimal en la fórmula
- f(a), valor de la función
- — La función original en el punto indicado
- f'(a), pendiente de la tangente
- — Pendiente de la recta tangente en ese punto
- f''(a), concavidad
- — Positiva es cóncava hacia arriba, negativa hacia abajo
- Recta tangente
- — La recta que toca la curva en ese punto
| Función | Expresión | Valor |
|---|
Esta calculadora analiza y deriva la expresión dentro del navegador y no descarga ninguna biblioteca de cálculo externa. Al ordenar el resultado simplifica los factores comunes al numerador y al denominador, y esa simplificación supone que el factor no vale cero. Las funciones que no son derivables en un punto, como el valor absoluto en cero, reciben una derivada válida en el resto del dominio. No se aplican identidades trigonométricas, así que un resultado puede tener otra forma que el del libro y valer lo mismo.
sin rodeos.
- Todo a la vistaLa zona de entrada y los resultados se reconocen rápido.
- Resultado primeroEl número principal va delante; el detalle queda debajo.
- Menos requisitosSin registro ni datos innecesarios antes de usar la herramienta.
Qué te dice realmente una derivada y cómo llega esta calculadora hasta ahí
Una derivada informa de la pendiente, no de la altura. A qué altura está la curva en un punto lo responde el valor de la función; con qué inclinación sube lo responde la derivada. En la EBAU, «halla la ecuación de la recta tangente» y «estudia los intervalos de crecimiento» son el mismo cálculo con distinto enunciado, y los dos empiezan por una derivada. Donde de verdad se atasca la gente es al decidir qué regla toca en cada sitio.
Por eso esta calculadora no se limita a devolver un resultado: enumera las reglas por las que ha pasado para construirlo. Si escribes x^2*sen(x) aparecen como etiquetas la regla del producto, la de la potencia y la derivada trigonométrica; si escribes sqrt(3x^2+1) aparecen la regla de la raíz y la de la cadena. Más abajo se explica cómo lee el analizador lo que escribes, por qué ln y log se mantienen separados y por qué las derivadas segundas de un cociente crecen tanto, con los valores exactos que produce la pantalla.
Empecemos por un polinomio y sigámoslo hasta el final
Escribe f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 y pon 2 como punto de evaluación. La pantalla se rellena con los valores de la tabla siguiente. La derivada primera sale de aplicar la regla de la potencia término a término, y la pendiente de la tangente es esa derivada evaluada en 2. La tabla usa el mismo redondeo que muestra la herramienta.
- Regla de la potencia: derivar x^n da n·x^(n-1), así que x^3 pasa a 3x^2 y 2x^2 pasa a 4x.
- El término constante 3 se deriva a 0 y desaparece del resultado.
- El término -5x conserva solo su coeficiente y queda en -5. Eso es la regla del múltiplo constante.
- La pendiente de la tangente es f′(2) = 3·4 + 4·2 - 5 = 15.
- La recta tangente toma esa pendiente y se desplaza para pasar por el punto: y = 15x - 21.
| Elemento | Valor | De dónde sale |
|---|---|---|
| Derivada primera f′(x) | 3x^2 + 4x - 5 | Regla de la potencia y del múltiplo constante, término a término |
| Derivada segunda f″(x) | 6x + 4 | La derivada primera derivada otra vez |
| Derivada tercera f‴(x) | 6 | La derivada segunda derivada otra vez |
| Valor de la función f(2) | 9 | 8 + 8 - 10 + 3 |
| Pendiente de la tangente f′(2) | 15 | 3×4 + 4×2 - 5 |
| Concavidad f″(2) | 16 | 6×2 + 4, positiva, cóncava hacia arriba |
| Recta tangente | y = 15x - 21 | 9 - 15×2 = -21 |
La herramienta escribe sen(x) porque así lo escribe el libro
En España el seno se escribe sen y no sin, la tangente aparece a menudo como tg y el arcoseno como arcsen. Esta calculadora acepta las dos grafías al escribir y devuelve el resultado con la forma española, de modo que lo que ves en pantalla se parece a lo que hay en tu cuaderno. Como el analizador también entiende su propia salida, puedes copiar el resultado y volver a pegarlo sin tocarlo.
- sen(x) y sin(x) se leen igual; el resultado se imprime con sen.
- arcsen(x) y asin(x) se leen igual; el resultado se imprime con arcsen.
- tg(x), ctg(x) y cosec(x) se aceptan como tan, cot y csc.
- raiz(x) se acepta como sqrt(x), aunque en el resultado aparece sqrt.
- La derivada de sen(x) es cos(x) y la de cos(x) es -sen(x), como en cualquier formulario.
Cómo escribir la expresión para que se lea lo que quieres decir
Dos detalles despistan casi siempre: el signo de multiplicar y la base del logaritmo. Aquí puedes omitir el signo de multiplicar, y un log sin base se lee en base 10, tal como aparece en Bachillerato. El logaritmo neperiano se escribe ln. La fila de notación situada bajo el campo de entrada mantiene ese acuerdo siempre visible.
- 2x, 3sen(x), x(x+1) y (x+1)(x-1) se leen como productos.
- Las potencias usan el acento circunflejo: x^2, x^(1/2) y 2^x funcionan.
- ln(x) es el logaritmo neperiano, log(x) es el decimal y log2(x) el de base 2.
- Las raíces son sqrt(x) y cbrt(x); x^0.5 significa lo mismo que sqrt(x).
- Dentro de la fórmula el separador decimal es el punto, porque la coma choca con el separador de argumentos de la notación internacional. En los resultados sí se usa la coma española.
- Escribe pi o π para π, y e para el número de Euler.
Por qué las reglas aparecen junto al resultado
La mitad de quien busca una calculadora de derivadas ya tiene un resultado escrito. Lo que le falta es la seguridad de haber elegido bien la regla. Esta herramienta recoge las reglas que ha usado mientras recorre la expresión y las muestra debajo del resultado. Si tu resultado coincide pero las etiquetas no coinciden con tu desarrollo, es que había más de un camino hasta el mismo sitio.
- La regla de la constante y la de la identidad son demasiado básicas para etiquetarlas, así que solo aparecen cuando la función entera es constante.
- La regla de la suma y la resta aparece siempre que hay más de un término.
- La regla del múltiplo constante sustituye a la del producto cuando un factor no contiene la variable: el 3 de 3sen(x) simplemente acompaña.
- La regla de la cadena solo aparece cuando dentro de la función hay algo distinto de la variable sola: sen(x) no la lleva y sen(3x+1) sí.
- La derivación logarítmica aparece cuando la variable está a la vez en la base y en el exponente, como en x^x.
Ver con exactitud dónde entra la regla de la cadena
La regla de la cadena dice que se deriva la función exterior y se multiplica por la derivada de la interior. La frase es fácil; localizar dónde termina la interior no lo es. Pulsa el ejemplo de la cadena, sqrt(3x^2+1), y el resultado es 3x / sqrt(3x^2+1). Ese 3x del numerador es lo que queda tras multiplicar la derivada interior 6x por la exterior 1/(2√u).
- sen(3x+1) se deriva como 3cos(3x+1); el 3 de delante es la derivada interior.
- exp(2x) se deriva como 2exp(2x) por la misma razón.
- ln(x^2+1) se deriva como 2x / (x^2+1), donde el numerador es la derivada interior.
- (3x+1)^4 se deriva como 12(3x+1)^3 porque se multiplican el 4 y el 3.
- Cuando el interior es solo x, la etiqueta de la cadena desaparece, porque el factor que aporta vale 1.
Elegir entre la regla del producto y la del cociente
Ver una fracción hace que mucha gente saque la regla del cociente por reflejo, pero si el denominador no contiene la variable esa regla sobra. La calculadora hace el mismo juicio: un denominador constante se trata como múltiplo constante, lo que deja el resultado más corto, y la etiqueta del cociente solo aparece cuando el denominador varía de verdad.
- x^2/5 tiene denominador constante, así que termina en (1/5)·2x = 0,4x.
- (x^2+1)/(x-1) sí necesita la regla del cociente y devuelve (x^2 - 2x - 1)/(x-1)^2.
- 4/x^2 sale antes escrito como 4x^(-2): una sola regla de la potencia da -8/x^3.
- Reescribir con exponente negativo un denominador de un solo término ahorra tiempo real en un examen.
- La regla del producto solo hace falta cuando los dos factores contienen la variable, como en x^2·sen(x).
Qué añade el punto de evaluación
Una derivada simbólica no responde a «cuánto sube aquí exactamente». Al escribir un punto, cuatro tarjetas describen el estado de la curva en él: el valor de la función, la pendiente de la tangente, la derivada segunda y la propia recta tangente. Si dejas el punto vacío se usa el valor de ejemplo en gris, y una línea sobre las tarjetas lo indica.
- f(a) es la altura de la curva, es decir, la ordenada por la que debe pasar la tangente.
- f′(a) es la pendiente de la tangente: positiva significa creciente en ese punto y negativa, decreciente.
- f″(a) es la concavidad: positiva es cóncava hacia arriba y negativa, hacia abajo.
- La recta tangente se construye como y = f′(a)·x + (f(a) - f′(a)·a).
- Si indicas un punto donde se anula el denominador, la tarjeta muestra «no definido» en vez de un número.
Leer f y su derivada sobre los mismos ejes
Superponer las dos curvas hace visible la relación. La curva discontinua es la función original y la continua es la derivada del orden que hayas elegido. Allí donde la continua corta el eje horizontal, la discontinua tiene tangente horizontal, que es candidata a máximo o a mínimo. Los ejes, la cuadrícula y la leyenda se dibujan antes de que escribas nada, para que veas la ventana de antemano.
- La ventana horizontal abarca 5 unidades a cada lado del punto de evaluación.
- La ventana vertical se elige a partir de la dispersión de los valores muestreados, y los valores extremos cercanos a una asíntota se recortan para que el resto siga legible.
- La línea vertical de puntos marca el punto de evaluación; el círculo sobre ella es f(a) y el cuadrado es el valor de la derivada.
- Donde la curva continua queda por encima del eje, la discontinua sube; donde queda por debajo, baja.
- Cambia el orden a 2 y la curva continua pasa a ser la derivada segunda, que indica hacia dónde se curva la gráfica.
Cuándo compensan la derivada segunda y la tercera
La primera decide si la función crece o decrece. La segunda decide si ese cambio se acelera o se suaviza, que es de lo que tratan la concavidad y los puntos de inflexión. En física, derivar la posición respecto del tiempo da la velocidad y derivar otra vez da la aceleración; la tercera derivada aparece en ingeniería al estudiar el confort de marcha.
- Un punto con f′ = 0 y f″ > 0 es un mínimo relativo.
- Un punto con f′ = 0 y f″ < 0 es un máximo relativo.
- Un punto donde f″ cambia de signo es un punto de inflexión.
- s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t da la velocidad 3t^2 - 12t + 9 y la aceleración 6t - 12.
- Con el orden en 3, la tabla muestra a la vez desde f hasta f‴.
Por qué una derivada segunda se vuelve de pronto enorme
Derivar dos veces un cociente o una raíz alarga la expresión de forma muy visible. Cada paso por la regla del cociente eleva el denominador al cuadrado, y la del producto añade términos al numerador. Esta calculadora simplifica los factores que sobreviven a ambos lados y agrupa las constantes, pero no intenta identidades trigonométricas ni factorizaciones.
- sqrt(3x^2+1) tiene la derivada primera corta 3x / sqrt(3x^2+1), y sin embargo la segunda ya lleva dos términos en el numerador.
- ln(sen(x)) devuelve (-sen(x)^2 - cos(x)^2) / sen(x)^2, que con la identidad fundamental se escribiría -1/sen(x)^2. Los valores coinciden.
- Cuando tu forma no coincide con la del libro, sustituye dos o tres valores cualesquiera en ambas y comprueba que dan lo mismo.
- Cuanto más larga es la expresión, más fácil es perder un signo al copiarla a mano, y para eso está el botón de copiar.
Errores de escritura que aparecen una y otra vez
Cuando una expresión no se puede leer, los resultados se vacían y la fila de estado indica en qué carácter se ha detenido el analizador. Casi siempre es un paréntesis sin cerrar o un nombre de función sin paréntesis. Estas son las formas más frecuentes.
- sen x — un nombre de función necesita paréntesis. Escribe sen(x).
- sen(x — falta el paréntesis de cierre, y la fila de estado señala el carácter afectado.
- x^2^3 — encierra los exponentes encadenados entre paréntesis: x^(2^3).
- 2**x — el doble asterisco no es un operador de potencia aquí. Escribe 2^x.
- sen^2(x) — el exponente sobre el nombre de la función no se lee. Escribe sen(x)^2.
- 1,5 — dentro de la fórmula la coma no es separador decimal. Escribe 1.5.
Lo que esta calculadora no hace
Su trabajo termina en la derivada respecto de una variable. Las tareas siguientes necesitan otro método, y tomar un resultado de aquí como respuesta a una de ellas te llevará a error.
- Integración: no se calcula el sentido inverso.
- Derivación implícita: una relación como x^2 + y^2 = 1 no se admite. Hay que despejar y primero.
- Notación de varias variables: si aparecen varias letras, todo lo que no sea la variable elegida se trata como constante. El resultado coincide con una derivada parcial, pero la notación parcial no está admitida.
- Funciones definidas a trozos: introduce cada rama por separado.
- Detección de puntos no derivables: abs(x) no tiene derivada en 0, pero la derivada impresa simplemente excluye ese punto.
- Aproximación numérica: quedan fuera las funciones que no se escriben con funciones elementales.
Comprueba esto antes de pasar el resultado al papel
Repasar esta lista corta evita la mayoría de los puntos que se pierden en los ejercicios de derivadas.
- ¿La variable de derivación es la que pide el enunciado? El menú se rellena con las letras de tu expresión.
- ¿El orden es el que se pide? Empieza en 1.
- Si querías el logaritmo neperiano, ¿has escrito ln y no log?
- ¿Algún factor simplificado se anula dentro del dominio que fija el enunciado?
- Si piden la recta tangente, ¿has escrito el punto en vez de dejar el valor de ejemplo?
- Si la expresión es larga, ¿has usado el botón de copiar en lugar de transcribirla?
Fuentes y fecha de revisión
Fecha de revisión del contenido de esta página: 2026-09-05. Las reglas de derivación son definiciones matemáticas y no normativa que cambie cada curso, así que nada de lo anterior queda desfasado. Las fuentes siguientes son las referencias estándar con las que se han contrastado las fórmulas.
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Preguntas sobre el cálculo de derivadas
No hay botón de calcular. ¿Cuándo se ejecuta?
Se ejecuta mientras escribes. Cada pulsación en el campo de la función actualiza a la vez la derivada, las etiquetas de las reglas, las tarjetas del punto, la tabla y la gráfica, y lo mismo ocurre al cambiar la variable o el orden. Un botón de calcular añadiría un clic sin cambiar ningún resultado, así que se quitó. Mientras la expresión está incompleta, por ejemplo sen(x sin cerrar, la fila de estado indica dónde se ha detenido el analizador en lugar de mostrar un resultado.
He escrito log(x) y la derivada no es 1/x
Aquí log significa logaritmo decimal, así que log(x) se deriva como 1 / (x·ln(10)). Para el logaritmo neperiano escribe ln(x), cuya derivada sí es 1/x. Los libros españoles de Bachillerato usan log para la base 10 y ln para el neperiano, y la misma convención se sigue en los mercados coreano, japonés e indonesio, por lo que la herramienta la aplica en todos los idiomas.
¿Puedo escribir sen en vez de sin?
Sí, y además el resultado se imprime con sen. La calculadora acepta sen, arcsen, tg, ctg y cosec junto a las formas internacionales sin, asin, tan, cot y csc, y muestra el seno y el arcoseno con la grafía española. Como el analizador entiende su propia salida, puedes copiar el resultado y pegarlo de nuevo sin editarlo. Si lo vas a llevar a otro programa, ten en cuenta que fuera de aquí sen no siempre se reconoce.
¿Hay que escribir el signo de multiplicar?
No. 2x, 3sen(x), x(x+1) y (x+1)(x-1) se leen como productos. Las variables son letras sueltas, de modo que xy significa x por y y ab significa a por b; no hay nombres de variable de varias letras. Los nombres de función son la excepción: solo los registrados, como sen, cos, exp o ln, se leen como una sola pieza, y todos ellos exigen paréntesis detrás.
¿Qué funciones admite?
Polinomios y expresiones racionales, raíces cuadradas y cúbicas, las seis funciones trigonométricas (sen, cos, tg, sec, cosec, ctg), tres inversas (arcsen, arccos, arctg), tres hiperbólicas (sinh, cosh, tanh), exponenciales (exp y a^x), logaritmos (ln, log, log2) y el valor absoluto. También acepta las abreviaturas internacionales sin, asin, tan, cot y csc, además de formas como log10 o lg.
¿También integra?
No, solo va en el sentido de la derivación. Derivar y hallar una primitiva son problemas de dificultad muy distinta: derivar siempre termina siguiendo reglas, mientras que muchas funciones corrientes no tienen primitiva expresable con funciones elementales. Lo que sí puedes es derivar varias veces, que es justo lo que hace el selector de orden hasta la tercera derivada.
¿Puedo derivar respecto de t en lugar de x?
Sí. El menú de variables se rellena con las letras sueltas que aparecen en tu expresión. Escribe s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t, elige t y obtienes la velocidad 3t^2 - 12t + 9. Cuando hay varias letras, solo la seleccionada se trata como variable y el resto como constantes, de modo que derivar a·x^2 respecto de x devuelve 2ax.
La derivada segunda es mucho más larga que la del libro
Derivar dos veces un cociente o una raíz eleva el denominador al cuadrado y acumula términos en el numerador. La calculadora simplifica los factores comunes y agrupa constantes, pero no aplica identidades trigonométricas ni factoriza. Por ejemplo, ln(sen(x)) devuelve (-sen(x)^2 - cos(x)^2) / sen(x)^2 donde la forma con identidad es -1/sen(x)^2. Coinciden allí donde ambas están definidas; sustituye un par de valores si quieres confirmarlo.
¿Qué ocurre si dejo vacío el punto de evaluación?
Se usa para el cálculo el número de ejemplo que aparece en gris, y una línea sobre las tarjetas avisa de que ese valor es un ejemplo y no algo que hayas escrito. En cuanto escribes tu número esa nota cambia, y la recta tangente y la marca vertical de la gráfica se mueven con él. En ese campo puedes escribir el decimal con punto o con coma: 1.5 y 1,5 se leen igual.
¿Cómo se escribe seno al cuadrado de x?
Se escribe sen(x)^2. La forma manuscrita sen^2(x) no se lee, porque el exponente tiene que ir pegado a algo que el analizador pueda ver. Por la misma razón sen(x^2) y sen(x)^2 son funciones distintas, así que conviene revisar dónde está el paréntesis: la primera activa la regla de la cadena y la segunda, la de la potencia.