関数を入れると導関数と使った公式まで示す微分計算機
上の入力欄に微分したい関数を入れて変数と階数を選ぶと、下の結果欄に導関数の式、使った微分公式、代入した点での接線の傾き、関数と導関数のグラフがすぐに現れます。計算ボタンはなく、式を直した瞬間に計算し直します。
表記の約束 · ln(x) 自然対数 · log(x) 常用対数(底10) · 2x 掛け算の記号は省略可 · x^2 べき乗 · 0.5 式の小数点はピリオド · sqrt(x) 平方根
- f(a) 関数の値
- — 代入した点でのもとの関数の値
- f'(a) 接線の傾き
- — その点を通る接線の傾き
- f''(a) 凹凸
- — 正なら下に凸、負なら上に凸
- 接線の方程式
- — その点で曲線に接する直線
| 関数 | 式 | 代入値 |
|---|
この計算機は入力された式を自分で読み取って微分し、外部の計算ライブラリを読み込みません。結果を整理するとき分母と分子に共通して残った因数を約分しますが、この約分はその因数が 0 にならない範囲を前提にしています。絶対値のように一点で微分できない関数は、その点を除いた範囲の導関数を表示します。三角関数の相互関係でさらに式を縮めることはしないので、教科書の答えと形が違っても値は同じです。
すぐ使える形で。
- すぐ見える画面入力場所と結果の場所をはっきり分けます。
- 結果を先に大事な数字を先に出し、過程は必要な分だけ見せます。
- 求めるものを減らす登録や余計な入力なしで使えるようにします。
導関数は何を教えてくれ、この計算機はその答えをどう作るのか
導関数が教えてくれるのはグラフの高さではなく傾きです。ある点で f(x) がいくつかは関数の値が答え、その点で曲線がどれだけ急かは導関数が答えます。入試で「接線の方程式を求めよ」や「増加する区間を求めよ」が出たとき、実質はどちらも導関数一つで解けます。つまずくのは答えそのものより、どの公式をどの順で出すのかが見えないところです。
そこでこの計算機は答えだけでなく、その答えに至るまでに通った公式も一緒に示します。x²·sin(x) を入れると積の微分とべき乗の微分と三角関数の微分がタグとして並び、sqrt(3x²+1) を入れると無理関数の微分と合成関数の微分が並びます。以下では、この計算機が式をどう読むのか、ln と log をなぜ分けるのか、第2次導関数の式がなぜ長くなるのかを、実際の画面の値で説明します。
結論から言うと、導関数はその点での瞬間の傾きです
多項式を一つ最後まで追ってみます。f(x) = x³ + 2x² − 5x + 3 を入れて代入する値を 2 にすると、画面に下の表と同じ値が出ます。第1次導関数は各項にべき乗の微分を適用した結果で、接線の傾きはその導関数に 2 を代入した値です。表の数字は画面に出る値と同じ丸めで書いています。
- べき乗の微分 — xⁿ を微分すると n·xⁿ⁻¹ になります。x³ は 3x²、2x² は 4x です。
- 定数項の 3 は微分すると 0 になり、導関数から消えます。
- −5x は係数だけが残って −5 になります。これが定数倍の微分です。
- 接線の傾きは f′(2) = 3·4 + 4·2 − 5 = 15 です。
- 接線の方程式は傾き 15 でその点を通るように切片を合わせ、y = 15x − 21 になります。
| 項目 | 値 | どこから出た値か |
|---|---|---|
| 第1次導関数 f′(x) | 3x^2 + 4x - 5 | 各項にべき乗と定数倍の微分を適用 |
| 第2次導関数 f″(x) | 6x + 4 | 第1次導関数をもう一度微分 |
| 第3次導関数 f‴(x) | 6 | 第2次導関数をもう一度微分 |
| 関数の値 f(2) | 9 | 8 + 8 − 10 + 3 |
| 接線の傾き f′(2) | 15 | 3×4 + 4×2 − 5 |
| 凹凸 f″(2) | 16 | 6×2 + 4、正なので下に凸 |
| 接線の方程式 | y = 15x − 21 | 9 − 15×2 = −21 |
数学IIIの log と、この計算機の log は同じではありません
日本の高校数学IIIでは、底を書かない log を自然対数の意味で使う教科書があります。一方この計算機は log を常用対数(底 10)として読み、自然対数は ln で受け取ります。理由は、同じ画面を韓国・スペイン・インドネシアの読者も使うためで、それらの市場では底のない log が常用対数だからです。数学IIIの答案の感覚のまま log(x) と打つと、導関数が 1/x ではなく 1 / (x·ln(10)) になります。
- 自然対数を微分したいときは ln(x) と打ちます。導関数は 1/x です。
- 常用対数は log(x) です。導関数は 1 / (x·ln(10)) になります。
- 底が 2 の対数は log2(x) です。
- e の指数関数は exp(x) でも e^x でもかまいません。どちらも導関数は exp(x) です。
- 入力欄のすぐ下にある表記の行に、この約束が常に表示されています。
式をどう書けばそのまま読み取られるか
入力で最も詰まるのは掛け算の記号です。この計算機は掛け算の記号を省いても読み取ります。変数は一文字だけなので、xy は x 掛ける y になります。関数名だけは例外で、あらかじめ登録された名前が複数文字として認識され、そのうしろには必ず括弧が必要です。
- 2x、3sin(x)、x(x+1)、(x+1)(x−1) はいずれも積として読みます。
- べき乗は ^ で書きます。x^2、x^(1/2)、2^x のいずれも使えます。
- 平方根は sqrt(x)、立方根は cbrt(x) です。x^0.5 と書いても同じです。
- 式の中の小数点はピリオドです。カンマは国際的な数式表記で引数の区切りと重なるためです。
- π は pi または π、自然対数の底は e と書きます。
使った公式を画面に出す理由
微分計算機を探す人の半分は、答えを知らないのではなく自分が選んだ公式で合っているか確信が持てなくて来ます。この計算機は式をたどりながら実際に使った公式を集め、結果の下にタグとして並べます。答えが合っているのに並んだ公式が予想と違うなら、同じ答えに届く別の道筋があったということです。
- 定数の微分と変数の微分は基本すぎるのでタグには数えず、定数だけの式のときだけ表示します。
- 和と差の微分は項が二つ以上あれば必ず入ります。
- 定数倍の微分は、片方が変数と無関係なときに積の微分の代わりに選ばれます。3sin(x) の 3 はそのまま残ります。
- 合成関数の微分は、関数の中に x が単独で入っていないときだけ付きます。sin(x) には付かず、sin(3x+1) には付きます。
- 対数微分法は、底にも指数にも変数があるときに出ます。x^x がその場合です。
合成関数の微分が入る場所を目で確かめる
合成関数の微分は、外側の関数を微分してから内側の関数の導関数を掛ける公式です。言葉では簡単ですが、実際の問題では内側がどこまでかで迷います。例題の sqrt(3x²+1) を押すと結果が 3x / sqrt(3x²+1) になります。分子の 3x が、内側 3x²+1 を微分した 6x と外側の微分 1/(2√u) を掛けて整理した値です。
- sin(3x+1) の導関数は 3cos(3x+1) です。前の 3 が内側を微分した値です。
- exp(2x) の導関数は 2exp(2x) です。指数の位置に 2x があるので 2 が外に出ます。
- ln(x²+1) の導関数は 2x / (x²+1) です。分子が内側の導関数です。
- (3x+1)⁴ の導関数は 12(3x+1)³ です。4 と 3 が掛かって 12 になります。
- 内側が x だけなら合成関数のタグは出ません。掛ける値が 1 で消えるからです。
積の微分と商の微分、どちらへ進むか
分数の形を見ると反射的に商の微分を出しがちですが、分母に変数がなければ商の微分は要りません。この計算機も同じ判断をします。分母が変数と無関係なら定数倍の微分として処理して式が短くなり、分母に変数があるときだけ商の微分のタグが出ます。
- x²/5 は分母が定数なので (1/5)·2x = 0.4x で終わります。
- (x²+1)/(x−1) は分母に x があるので商の微分を使います。結果は (x² − 2x − 1)/(x−1)² です。
- 4/x² は分数のままにせず 4x⁻² と見ればべき乗の微分一回で −8/x³ になります。
- 分母が一項だけなら指数を負にして書くほうが手計算では速いです。
- 積の微分は二つの因数の両方に変数があるときだけ必要です。x²·sin(x) がその場合です。
代入する値を入れると何が変わるか
導関数の式だけでは「この曲線はその点でどれだけ急なのか」をすぐには言えません。代入する値を入れると、結果のカード四枚がその点の状態を数で整理します。関数の値、接線の傾き、第2次導関数の値、そして接線の方程式です。空欄のままにすると薄い例の数値がそのまま計算に使われ、どの値が使われたかがカードの上に表示されます。
- f(a) はその点での曲線の高さです。接線が通るべき点の y 座標になります。
- f′(a) は接線の傾き、つまり微分係数です。正なら増加、負なら減少です。
- f″(a) は凹凸です。正なら下に凸、負なら上に凸です。
- 接線の方程式は y = f′(a)·x + (f(a) − f′(a)·a) の形で作られます。
- 分母が 0 になる点を入れると、値の代わりに定義されませんと表示されます。
グラフで f と f′ を並べて読む
関数と導関数を同じ座標に重ねると、二つの関係が見えてきます。破線がもとの関数、実線が選んだ階数の導関数です。実線が横軸を横切る点は破線の傾きが 0 になる点、つまり極大か極小の候補です。値を入れる前でも軸と目盛りと凡例は描かれているので、どの範囲を見ることになるかが先に分かります。
- 横の範囲は代入する値を中心に左右 5 ずつです。
- 縦の範囲は二つの曲線の値の分布から自動で決めます。漸近線があってもグラフがつぶれないよう極端な値を切ります。
- 縦の点線は代入した点の位置です。その線上の丸が f(a)、四角が導関数の値です。
- 実線が横軸より上にある区間で破線は上がり、下にある区間で破線は下がります。
- 階数を第2次にすると実線が第2次導関数に変わり、曲線の曲がる向きが見えます。
第2次と第3次の導関数はいつ見るのか
第1次導関数で増加と減少を判定し、第2次導関数でその増え方が加速しているのか緩んでいるのかを判定します。物理では位置を時間で微分すると速度、もう一度微分すると加速度になります。第3次導関数は加速度の変化率なので、乗り心地を扱う工学の問題にときどき現れます。
- f′ = 0 かつ f″ > 0 の点は極小です。
- f′ = 0 かつ f″ < 0 の点は極大です。
- f″ の符号が変わる点が変曲点です。
- s(t) = t³ − 6t² + 9t を時間で微分すると速度 3t² − 12t + 9、もう一度で加速度 6t − 12 です。
- 階数を第3次にすると f から f‴ までの四行が表に並びます。
なぜ第2次導関数の式が急に長くなるのか
分数や無理式を二回微分すると式は目に見えて長くなります。商の微分を使うたびに分母が二乗され、分子には積の微分が作った項が積み上がるからです。この計算機は分母と分子に共通で残った因数を約分し定数をまとめて短くしますが、三角関数の相互関係や因数分解までは試みません。
- sqrt(3x²+1) の第1次導関数は 3x / sqrt(3x²+1) と短いのに、第2次では分子に二項が生じます。
- ln(sin(x)) の第2次導関数は (−sin(x)² − cos(x)²) / sin(x)² と出ます。相互関係を使えば −1/sin(x)² ですが値は同じです。
- 教科書と形が違うときは、適当な値をいくつか代入して同じ数になるか確かめれば足ります。
- 式が長いほど手で写すときに符号を落としやすいので、結果をコピーするほうが安全です。
よくある入力の誤りと、そのとき出る案内
入力が正しくないと結果が空になり、状態の行が何文字目で止まったかを知らせます。多くは括弧の閉じ忘れか、関数名のうしろの括弧の抜けです。以下は実際によく入る形とその理由です。
- sin x — 関数名のうしろには括弧が必要です。sin(x) と書きます。
- sin(x — 閉じ括弧が足りません。状態の行が何文字目付近かを知らせます。
- x^2^3 — 指数の指数は括弧でくくると意味がはっきりします。x^(2^3) と書きます。
- 2**x — アスタリスク二つはべき乗の記号ではありません。2^x と書きます。
- sin²x — 関数名のうしろに二乗を付ける書き方は読めません。sin(x)^2 と書きます。
- 1,5 — 式の中でカンマは小数点ではありません。1.5 と書きます。
この計算機が答えないこと
一つの変数についての導関数を求めるところまでがこの道具の範囲です。以下は別の方法が必要で、結果をそのまま信じると食い違います。
- 積分 — 導関数の逆方向は計算しません。
- 陰関数の微分 — x² + y² = 1 のように等式で与えられた関係は扱いません。y を x で解いた形で入れる必要があります。
- 多変数の表記 — 変数を二つ以上使うと、選んだ変数以外は定数として扱います。結果は偏微分と同じですが多変数の記法には対応しません。
- 区間ごとに定義された関数 — 条件で式が変わる関数は区間ごとに分けて入れてください。
- 微分できない点の判定 — abs(x) は x = 0 で微分できませんが、導関数の式はその点を除いて表示されます。
- 数値近似 — 初等関数で書けない関数には対応しません。
答えを写す前の確認リスト
計算機が出した式を答案に写すときは、以下を一つずつ確かめると失点しやすい箇所を先に取り除けます。
- 微分する変数は問題が求めている変数と同じですか。一覧は式に出てきた変数から自動で作られます。
- 階数は問題が問う階数と同じですか。既定は第1次です。
- 自然対数のつもりで log と書いていませんか。数学IIIの慣習とは違うので ln に直します。
- 約分された因数が 0 になる値が、問題の定義域に入っていませんか。
- 接線の方程式が問われているなら、代入する値を実際に入れましたか。空欄だと例の値が使われます。
- 式が長いなら手で写さず、結果をコピーして貼り付けましたか。
根拠と基準日
このページの内容基準日は 2026-09-05 です。微分公式は年ごとに変わる制度ではなく数学の定義なので、値が古くなることはありません。下の出典は、この計算機が使う導関数の式と表記を照合した標準文献です。
一緒に使う道具
導関数の計算でよくある質問
計算ボタンがありませんが、いつ計算されますか
式を直した瞬間に計算されます。関数の欄に一文字入れるたびに、導関数の式、公式のタグ、代入値のカード、表、グラフが同時に更新されます。変数や階数を変えたときも同じです。計算ボタンは押す手間が一つ増えるだけで結果を変えないので外しました。ただし sin(x のように括弧を閉じていない途中の状態では、結果の代わりにどの位置で止まったかを知らせます。
log(x) を入れたのに導関数が 1/x になりません
この計算機では log は底が 10 の常用対数です。そのため log(x) の導関数は 1 / (x·ln(10)) になります。自然対数を使うには ln(x) と書き、そのとき導関数が 1/x になります。数学IIIの教科書には底を書かない log を自然対数として使うものがありますが、この画面は韓国・スペイン・インドネシアの読者も同時に使うため、それらの市場の慣習に合わせて常用対数としています。
掛け算の記号は必ず要りますか
要りません。2x、3sin(x)、x(x+1)、(x+1)(x−1) はすべて積として読みます。ただし変数は一文字だけ認識するので、xy は x 掛ける y、ab は a 掛ける b になります。二文字以上の変数名は使えません。関数名は例外で、sin、cos、exp、ln のようにあらかじめ登録された名前だけが複数文字として認識され、そのうしろには必ず括弧が要ります。
どの関数まで対応していますか
多項式と分数式、平方根と立方根、三角関数六種類(sin、cos、tan、sec、csc、cot)、逆三角関数三種類(asin、acos、atan)、双曲線関数三種類(sinh、cosh、tanh)、指数関数(exp、a^x)、対数関数(ln、log、log2)、絶対値(abs)に対応します。スペイン語圏の表記 sen や arcsen、tg や ctg、log10 や lg のような略記も同じ関数として認識します。
積分もできますか
できません。この道具は微分の一方向だけを扱います。導関数を求めることと原始関数を取り戻すことは難しさがまったく違います。微分は公式をたどれば必ず答えが出ますが、積分は初等関数で書けない場合がよくあります。ただし微分した結果をもう一度微分することはできるので、階数を第3次まで上げて f‴ まで一度に見られます。
x 以外の文字でも微分できますか
できます。式に出てきた一文字の変数が、微分する変数の一覧に自動で並びます。s(t) = t³ − 6t² + 9t を入れると一覧に t が出て、それを選ぶと速度 3t² − 12t + 9 が得られます。変数が二つ以上ある式では、選んだ変数だけを変数とみなして残りは定数として扱います。たとえば a·x² で x を選ぶと導関数は 2ax になります。
第2次導関数の式が長すぎます
分数や無理式を二回微分すると分母が二乗され分子に項が積み上がるので長くなります。この計算機は共通因数を約分し定数をまとめますが、三角関数の相互関係や因数分解まではしません。たとえば ln(sin(x)) の第2次導関数は (−sin(x)² − cos(x)²) / sin(x)² と出ますが、相互関係を使えば −1/sin(x)² です。二つは形が違うだけで値は同じなので、確かめたいときは適当な値を代入して同じ数になるかを見てください。
代入する値を空欄にするとどうなりますか
薄く表示されている例の数値がそのまま計算に使われます。結果のカードの上に、例の値であるという表示とともにどの値が使われたかが出るので、自分が入れた値かどうかで迷うことはありません。実際に値を入れるとその瞬間に表示が変わり、接線の方程式とグラフの縦の点線も一緒に動きます。小数はピリオドでもカンマでも受け付けるので、1.5 でも 1,5 でも同じに解釈します。
sin²x はどう入力しますか
sin(x)^2 と書きます。関数名のうしろに指数を付ける sin^2(x) や sin²x の表記は読めません。手書きでは二乗を関数名の横に置く習慣がありますが、入力では何を二乗するのかを括弧ではっきりさせる必要があります。同じ理由で sin(x²) と sin(x)² はまったく別の関数なので、括弧の位置を確かめてください。前者には合成関数、後者にはべき乗の公式が付きます。
結果をコピーすると何が写りますか
選んだ階数までの導関数の式と、代入値での関数の値・接線の傾き・接線の方程式が複数行で写ります。このとき式は画面に見える中黒ではなくアスタリスクを使った形で写るので、そのままこの計算機の入力欄に貼り直しても、ほかの数学ソフトに入れても読み取れます。長い式を手で写して符号を落とす失敗を防ぐためのものです。