함수를 넣으면 도함수와 적용 규칙을 함께 보여 주는 미분 계산기
위쪽 입력줄에 미분할 함수를 넣고 변수와 차수를 고르면 아래 결과줄에 도함수 식과 적용한 미분 규칙, 대입값에서의 접선 기울기, 함수와 도함수 그래프가 바로 나타납니다. 계산 버튼은 없고 식을 고치는 즉시 결과가 다시 계산됩니다.
표기 규약 · ln(x) 자연로그 · log(x) 상용로그(밑 10) · 2x 곱셈 기호 생략 가능 · x^2 거듭제곱 · 0.5 식의 소수점은 마침표 · sqrt(x) 제곱근
- f(a) 함숫값
- — 대입한 값에서의 원래 함수 값
- f'(a) 접선 기울기
- — 그 점을 지나는 접선의 기울기
- f''(a) 오목성
- — 양수면 아래로 볼록, 음수면 위로 볼록
- 접선의 방정식
- — 그 점에서 곡선에 닿는 직선
| 함수 | 식 | 대입값 |
|---|
이 계산기는 입력한 식을 직접 읽어 미분하며 외부 계산 라이브러리를 내려받지 않습니다. 결과를 정리할 때 분모와 분자에 공통으로 들어간 인수를 약분하는데, 이 약분은 그 인수가 0이 되지 않는 구간을 전제합니다. 절댓값처럼 한 점에서 미분할 수 없는 함수는 그 점을 뺀 구간의 도함수를 보여 줍니다. 삼각함수 항등식으로 식을 더 줄이지는 않으므로 교과서 답과 모양이 달라도 값은 같습니다.
바로 쓸 수 있게.
- 바로 보이는 화면입력 위치와 결과 위치를 또렷하게 둡니다.
- 결과 먼저핵심 결과를 앞에 두고, 과정은 필요할 때만 보여줍니다.
- 요구 줄이기가입이나 불필요한 정보 입력 없이 바로 쓰게 합니다.
도함수는 무엇을 알려 주고, 이 계산기는 그 답을 어떻게 만드는가
도함수는 그래프의 높이가 아니라 기울기를 알려 줍니다. f(x)가 어떤 지점에서 얼마인지는 함숫값이 답하고, 그 지점에서 곡선이 얼마나 가파른지는 도함수가 답합니다. 시험에서 “접선의 방정식을 구하시오”나 “증가하는 구간을 구하시오”가 나오면 사실상 도함수 하나로 두 문제가 다 풀립니다. 문제는 도함수를 구하는 과정에서 어느 규칙을 언제 꺼내야 하는지가 잘 안 잡힌다는 점입니다.
그래서 이 계산기는 답만 내놓지 않고 그 답을 만들 때 통과한 규칙을 함께 보여 줍니다. x²·sin(x)를 넣으면 곱의 규칙과 거듭제곱 규칙과 삼각함수 미분이 칩으로 뜨고, sqrt(3x²+1)을 넣으면 무리함수 미분과 연쇄 규칙이 뜹니다. 아래에서는 이 계산기가 식을 어떻게 읽는지, ln과 log를 왜 구분하는지, 2차 도함수 식이 왜 길어지는지를 실제 화면 값으로 설명합니다.
결론부터: 도함수는 그 점에서의 순간 기울기입니다
다항식 하나로 끝까지 따라가 보겠습니다. f(x) = x³ + 2x² − 5x + 3을 넣고 대입할 값을 2로 두면 화면에 아래 표와 같은 값이 나옵니다. 1차 도함수는 각 항에 거듭제곱 규칙을 적용한 결과이고, 접선 기울기는 그 도함수에 2를 대입한 값입니다. 표의 숫자는 화면에 나오는 값과 같은 반올림으로 적었습니다.
- 거듭제곱 규칙 — xⁿ을 미분하면 n·xⁿ⁻¹이 됩니다. x³은 3x², 2x²는 4x가 됩니다.
- 상수항 3은 미분하면 0이 되어 도함수에서 사라집니다.
- −5x는 계수만 남아 −5가 됩니다. 이것이 상수배 규칙입니다.
- 접선 기울기는 f′(2) = 3·4 + 4·2 − 5 = 15입니다.
- 접선의 방정식은 기울기 15에 그 점을 지나도록 절편을 맞춰 y = 15x − 21이 됩니다.
| 항목 | 값 | 어떻게 나온 값인가 |
|---|---|---|
| 1차 도함수 f′(x) | 3x^2 + 4x - 5 | 각 항에 거듭제곱 규칙과 상수배 규칙을 적용 |
| 2차 도함수 f″(x) | 6x + 4 | 1차 도함수를 한 번 더 미분 |
| 3차 도함수 f‴(x) | 6 | 2차 도함수를 한 번 더 미분 |
| 함숫값 f(2) | 9 | 8 + 8 − 10 + 3 |
| 접선 기울기 f′(2) | 15 | 3×4 + 4×2 − 5 |
| 오목성 f″(2) | 16 | 6×2 + 4, 양수이므로 아래로 볼록 |
| 접선의 방정식 | y = 15x − 21 | 9 − 15×2 = −21 |
식을 어떻게 적어야 계산기가 그대로 읽는가
수식 입력에서 가장 자주 막히는 지점은 곱셈 기호와 로그 표기입니다. 이 계산기는 곱셈 기호를 생략해도 읽고, 밑을 적지 않은 log는 상용로그로 해석합니다. 자연로그를 쓰려면 ln을 씁니다. 입력줄 바로 아래에 있는 표기 안내줄이 이 규약을 항상 보여 줍니다.
- 2x, 3sin(x), x(x+1), (x+1)(x−1)처럼 곱셈 기호를 빼도 곱으로 읽습니다.
- 거듭제곱은 ^로 적습니다. x^2, x^(1/2), 2^x가 모두 됩니다.
- ln(x)는 자연로그, log(x)는 밑이 10인 상용로그, log2(x)는 밑이 2인 로그입니다.
- 제곱근은 sqrt(x), 세제곱근은 cbrt(x)로 적습니다. x^0.5로 적어도 같습니다.
- 식 안의 소수점은 마침표를 씁니다. 쉼표는 국제 수식 표기에서 인수를 구분하는 기호와 겹치기 때문입니다.
- π는 pi 또는 π로, 자연상수는 e로 적습니다.
적용된 규칙을 화면에 띄우는 이유
미분 계산기를 찾는 사람의 절반은 답을 몰라서가 아니라 자기가 고른 규칙이 맞는지 확신이 없어서 옵니다. 이 계산기는 식을 훑어 내려가며 실제로 사용한 규칙을 모아 결과 아래에 칩으로 나열합니다. 답이 맞았는데 규칙 칩이 예상과 다르면, 같은 답에 도달하는 다른 경로가 있었다는 뜻입니다.
- 상수 미분과 변수 미분은 너무 기본이라 칩으로 따로 세지 않고, 상수만 있는 식일 때만 표시합니다.
- 합·차 미분은 항이 두 개 이상이면 반드시 들어갑니다.
- 상수배 미분은 한쪽이 변수와 무관할 때 곱의 규칙 대신 선택됩니다. 3sin(x)에서 3은 그대로 나옵니다.
- 연쇄 규칙은 함수 안에 x가 단독으로 있지 않을 때만 붙습니다. sin(x)에는 없고 sin(3x+1)에는 있습니다.
- 로그 미분법은 밑과 지수에 모두 변수가 있을 때 등장합니다. x^x가 그 경우입니다.
연쇄 규칙이 끼어드는 자리를 눈으로 확인하기
연쇄 규칙은 겉함수를 미분한 뒤 속함수의 도함수를 곱하는 규칙입니다. 말로는 간단한데 실제 문제에서는 속함수가 어디까지인지 헷갈립니다. 프리셋의 sqrt(3x²+1)을 눌러 보면 결과가 3x / sqrt(3x²+1)로 나옵니다. 분자의 3x가 바로 속함수 3x²+1을 미분한 6x를 겉함수의 미분 1/(2√u)와 곱해 정리한 값입니다.
- sin(3x+1)의 도함수는 3cos(3x+1)입니다. 앞의 3이 속함수를 미분한 값입니다.
- exp(2x)의 도함수는 2exp(2x)입니다. 지수 자리에 2x가 있어 2가 밖으로 나옵니다.
- ln(x²+1)의 도함수는 2x / (x²+1)입니다. 분자가 속함수의 도함수입니다.
- (3x+1)⁴의 도함수는 12(3x+1)³입니다. 4와 3이 곱해져 12가 됩니다.
- 속함수가 x 하나뿐이면 연쇄 규칙 칩이 뜨지 않습니다. 곱할 값이 1이라 사라지기 때문입니다.
곱의 규칙과 몫의 규칙 중 어느 쪽으로 갈지
분수 꼴이 나오면 반사적으로 몫의 규칙을 꺼내는 경우가 많은데, 분모에 변수가 없으면 몫의 규칙은 필요 없습니다. 이 계산기도 그렇게 판단합니다. 분모가 변수와 무관하면 상수배 미분으로 처리해 식이 짧아지고, 분모에 변수가 있을 때만 몫의 규칙 칩이 뜹니다.
- x²/5는 분모가 상수라 (1/5)·2x = 0.4x로 끝납니다.
- (x²+1)/(x−1)은 분모에 x가 있어 몫의 규칙을 씁니다. 결과는 (x² − 2x − 1)/(x−1)²입니다.
- 4/x²는 분수로 두지 말고 4x⁻²로 보면 거듭제곱 규칙 한 번으로 −8/x³이 나옵니다.
- 분모가 한 항뿐이면 지수를 음수로 바꿔 쓰는 편이 손으로 풀 때 훨씬 빠릅니다.
- 곱의 규칙은 두 인수 모두에 변수가 있을 때만 필요합니다. x²·sin(x)가 그 경우입니다.
대입할 값을 넣으면 무엇이 달라지는가
도함수 식만으로는 “이 곡선이 그 점에서 얼마나 가파른가”를 바로 말하기 어렵습니다. 대입할 값을 넣으면 결과 카드 네 개가 그 점의 상태를 숫자로 정리합니다. 함숫값과 접선 기울기, 2차 도함수 값, 그리고 접선의 방정식입니다. 대입할 값을 비워 두면 연한 예시 숫자가 그대로 계산에 쓰이고, 어떤 값이 쓰였는지 카드 위에 표시됩니다.
- f(a)는 그 점에서 곡선의 높이입니다. 접선이 지나야 하는 점의 y좌표입니다.
- f′(a)는 접선의 기울기입니다. 양수면 그 점에서 증가, 음수면 감소입니다.
- f″(a)는 오목한 방향입니다. 양수면 아래로 볼록, 음수면 위로 볼록입니다.
- 접선의 방정식은 y = f′(a)·x + (f(a) − f′(a)·a)로 만들어집니다.
- 분모가 0이 되는 점을 넣으면 값 대신 정의되지 않음이 표시됩니다.
그래프에서 f와 f′를 나란히 읽는 법
함수와 도함수를 같은 축에 겹쳐 놓으면 둘의 관계가 눈에 들어옵니다. 파선이 원래 함수이고 실선이 선택한 차수의 도함수입니다. 실선이 가로축을 지나는 지점은 파선의 기울기가 0인 지점, 즉 극대나 극소의 후보입니다. 값을 넣기 전에도 축과 격자와 범례는 그려져 있어 어떤 범위를 보게 될지 미리 가늠할 수 있습니다.
- 가로 범위는 대입할 값을 가운데 두고 좌우로 5씩입니다.
- 세로 범위는 두 곡선의 값 분포를 보고 자동으로 잡습니다. 점근선이 있어도 그래프가 눌리지 않게 극단값을 잘라 냅니다.
- 세로 점선은 대입한 점의 위치입니다. 그 선 위의 동그라미가 f(a), 네모가 도함수 값입니다.
- 실선이 가로축 위에 있는 구간에서 파선은 올라가고, 아래에 있는 구간에서 파선은 내려갑니다.
- 차수를 2차로 바꾸면 실선이 2차 도함수로 바뀌어 곡선이 휘는 방향을 볼 수 있습니다.
2차와 3차 도함수를 언제 보는가
1차 도함수로 증가와 감소를 판정하고, 2차 도함수로 그 증가가 점점 빨라지는지 느려지는지를 판정합니다. 물리에서는 위치를 시간으로 미분하면 속도, 한 번 더 미분하면 가속도가 됩니다. 3차 도함수는 가속도의 변화율이라 승차감을 다루는 공학 문제에서 가끔 등장합니다.
- f′ = 0이고 f″ > 0인 점은 극소입니다.
- f′ = 0이고 f″ < 0인 점은 극대입니다.
- f″의 부호가 바뀌는 점이 변곡점입니다.
- s(t) = t³ − 6t² + 9t를 시간으로 미분하면 속도 3t² − 12t + 9, 다시 미분하면 가속도 6t − 12가 됩니다.
- 차수를 3차로 두면 f부터 f‴까지 네 줄이 표에 함께 나옵니다.
왜 2차 도함수 식이 갑자기 길어지는가
분수 꼴이나 무리식을 두 번 미분하면 식이 눈에 띄게 길어집니다. 몫의 규칙을 적용할 때마다 분모가 제곱되고, 분자에는 곱의 규칙이 만든 항이 쌓이기 때문입니다. 이 계산기는 분모와 분자에 공통으로 남은 인수를 약분하고 상수를 접어 최대한 줄이지만, 삼각함수 항등식이나 인수분해까지 시도하지는 않습니다.
- sqrt(3x²+1)의 1차 도함수는 3x / sqrt(3x²+1)로 짧지만, 2차 도함수는 분자에 두 항이 생깁니다.
- ln(sin(x))의 2차 도함수는 (−sin(x)² − cos(x)²) / sin(x)²로 나옵니다. 항등식을 쓰면 −1/sin(x)²이지만 값은 같습니다.
- 답이 교과서와 모양이 다를 때는 아무 값이나 두어 개 대입해 양쪽이 같은 수를 내는지 확인하면 됩니다.
- 식이 길어질수록 손으로 옮겨 적는 과정에서 부호를 놓치기 쉬우므로 결과 복사 버튼을 쓰는 편이 안전합니다.
자주 틀리는 입력과 그때 나오는 안내
입력이 잘못되면 결과가 비워지고 상태줄이 몇 번째 글자에서 막혔는지 알려 줍니다. 대부분의 오류는 괄호를 덜 닫았거나 함수 이름 뒤에 괄호를 빼먹은 경우입니다. 아래는 실제로 자주 들어오는 형태와 그 이유입니다.
- sin x — 함수 이름 뒤에는 괄호가 필요합니다. sin(x)로 적습니다.
- sin(x — 닫는 괄호가 빠졌습니다. 상태줄이 몇 번째 글자 근처인지 알려 줍니다.
- x^2^3 — 지수의 지수는 괄호로 묶어야 뜻이 분명해집니다. x^(2^3)처럼 적습니다.
- 2**x — 별표 두 개는 거듭제곱 기호가 아닙니다. 2^x로 적습니다.
- sin²x — 제곱을 함수 이름 뒤에 붙이는 표기는 읽지 못합니다. sin(x)^2로 적습니다.
- 1,5 — 식 안에서 쉼표는 소수점이 아닙니다. 1.5로 적습니다.
이 계산기가 답하지 않는 것
한 변수에 대한 도함수를 구하는 일까지가 이 도구의 범위입니다. 아래 작업은 다른 방법이 필요하며, 결과를 그대로 믿으면 어긋납니다.
- 적분 — 도함수의 반대 방향은 계산하지 않습니다.
- 음함수 미분 — x² + y² = 1처럼 등식으로 주어진 관계는 다루지 않습니다. y를 x로 푼 형태로 넣어야 합니다.
- 편미분의 자동 판별 — 변수를 두 개 이상 쓰면 선택한 변수 외에는 상수로 봅니다. 이는 편미분과 같은 결과지만 다변수 표기는 지원하지 않습니다.
- 구간별로 정의된 함수 — 조건에 따라 식이 달라지는 함수는 구간마다 따로 넣어야 합니다.
- 미분 불가능한 점의 판정 — abs(x)는 x = 0에서 미분할 수 없지만 도함수 식은 그 점을 빼고 표시됩니다.
- 수치 근사 — 초등함수로 적을 수 없는 함수는 지원하지 않습니다.
답을 옮겨 적기 전 점검 목록
계산기가 준 식을 과제나 시험지에 옮길 때는 아래를 한 번씩 확인하면 흔한 감점 요인을 걸러 낼 수 있습니다.
- 미분 변수가 문제에서 요구한 변수와 같습니까. 목록은 식에 등장한 변수로 자동으로 채워집니다.
- 차수가 문제에서 묻는 차수와 같습니까. 기본값은 1차입니다.
- log를 자연로그로 쓸 생각이었다면 ln으로 바꿔 넣었습니까.
- 약분된 인수가 0이 되는 값이 문제의 정의역 안에 있지는 않습니까.
- 접선의 방정식을 물었다면 대입할 값을 실제로 넣었습니까. 비워 두면 예시 값이 쓰입니다.
- 식이 길다면 손으로 옮기지 말고 결과 복사를 눌러 붙여 넣었습니까.
근거와 기준일
이 페이지의 내용 기준일은 2026-09-05입니다. 미분 규칙은 시간에 따라 바뀌는 법령이 아니라 수학 정의이므로 값이 낡을 일은 없습니다. 아래 출처는 이 계산기가 쓰는 도함수 공식과 표기를 대조한 표준 문서입니다.
함께 보는 도구
도함수 계산 자주 묻는 질문
계산 버튼이 없는데 언제 계산되나요?
식을 고치는 즉시 계산됩니다. 함수 칸에 글자를 하나 넣을 때마다 도함수 식, 규칙 칩, 대입값 카드, 표, 그래프가 한꺼번에 갱신됩니다. 변수나 차수를 바꿀 때도 같습니다. 계산 버튼은 누르는 동작이 하나 더 필요할 뿐 결과를 바꾸지 않아 없앴습니다. 다만 입력이 아직 완성되지 않은 상태, 예를 들어 sin(x처럼 괄호를 닫지 않은 동안에는 결과 대신 어느 위치에서 막혔는지 알려 줍니다.
log(x)를 넣었더니 도함수가 1/x가 아닙니다
이 계산기에서 log는 밑이 10인 상용로그입니다. 그래서 log(x)의 도함수는 1 / (x·ln(10))이 됩니다. 자연로그를 쓰려면 ln(x)로 적어야 하고 그때 도함수가 1/x가 됩니다. 대한민국 고등학교 교과서와 스페인·인도네시아 교과서 모두 밑을 적지 않은 log를 상용로그로 쓰기 때문에 이 규약을 택했습니다. 일본 数学III처럼 log를 자연로그로 쓰는 관행에 익숙하다면 ln으로 바꿔 넣으면 됩니다.
곱셈 기호를 꼭 써야 하나요?
쓰지 않아도 됩니다. 2x, 3sin(x), x(x+1), (x+1)(x−1)은 모두 곱으로 읽습니다. 다만 변수는 한 글자로만 인식하므로 xy는 x 곱하기 y가 되고, ab는 a 곱하기 b가 됩니다. 두 글자짜리 변수 이름은 쓸 수 없습니다. 함수 이름은 예외라서 sin, cos, exp, ln처럼 미리 등록된 이름만 여러 글자로 인식하고, 그 뒤에는 반드시 괄호가 와야 합니다.
어떤 함수까지 지원하나요?
다항식과 유리식, 제곱근과 세제곱근, 삼각함수 여섯 종류(sin, cos, tan, sec, csc, cot), 역삼각함수 세 종류(asin, acos, atan), 쌍곡함수 세 종류(sinh, cosh, tanh), 지수함수(exp, a^x), 로그함수(ln, log, log2), 절댓값(abs)을 지원합니다. 스페인어권 표기 sen과 arcsen, tg와 ctg, 그리고 log10이나 lg 같은 축약형도 같은 함수로 인식합니다.
적분도 되나요?
되지 않습니다. 이 도구는 미분 한 방향만 다룹니다. 도함수를 구하는 일과 원함수를 되찾는 일은 난이도가 크게 다릅니다. 미분은 규칙을 따라가면 항상 답이 나오지만, 적분은 초등함수로 적을 수 없는 경우가 흔합니다. 다만 미분 결과를 다시 미분하는 것은 가능하므로 차수를 3차까지 올려 f‴까지 한 번에 볼 수 있습니다.
x 말고 t나 다른 문자로도 미분할 수 있나요?
가능합니다. 식에 등장한 한 글자 변수들이 미분 변수 목록에 자동으로 채워집니다. s(t) = t³ − 6t² + 9t를 넣으면 목록에 t가 뜨고, 그것을 고르면 속도 3t² − 12t + 9가 나옵니다. 변수가 두 개 이상인 식에서는 고른 변수만 변수로 보고 나머지는 상수로 처리합니다. 예를 들어 a·x²에서 x를 고르면 도함수는 2ax가 됩니다.
2차 도함수 식이 너무 길게 나옵니다
분수나 무리식을 두 번 미분하면 분모가 제곱되고 분자에 항이 쌓여 길어집니다. 이 계산기는 공통 인수를 약분하고 상수를 접어 줄이지만, 삼각함수 항등식이나 인수분해까지는 하지 않습니다. 예를 들어 ln(sin(x))의 2차 도함수는 (−sin(x)² − cos(x)²) / sin(x)²로 나오는데 항등식을 쓰면 −1/sin(x)²입니다. 두 식은 모양만 다르고 값은 같으므로, 확인하고 싶다면 아무 값이나 대입해 두 식이 같은 수를 내는지 보면 됩니다.
대입할 값을 비워 두면 어떻게 되나요?
연한 예시 숫자가 그대로 계산에 쓰입니다. 결과 카드 위에 어떤 값이 쓰였는지 예시 값이라는 표시와 함께 나오므로, 내가 넣은 값인지 예시 값인지 헷갈릴 일은 없습니다. 직접 값을 넣으면 그 순간 표시가 바뀌고 접선의 방정식과 그래프의 세로 점선도 함께 움직입니다. 소수를 넣을 때는 마침표와 쉼표를 모두 받아들이므로 1.5든 1,5든 같게 해석합니다.
sin²x는 어떻게 입력하나요?
sin(x)^2로 적습니다. 함수 이름 뒤에 지수를 붙이는 sin^2(x)나 sin²x 표기는 읽지 못합니다. 손으로 쓸 때는 제곱을 함수 이름 옆에 두는 관습이 있지만, 입력에서는 무엇을 제곱하는지 괄호로 분명히 해야 합니다. 같은 이유로 sin(x²)와 sin(x)²는 완전히 다른 함수이니 괄호 위치를 확인하세요. 앞의 것은 연쇄 규칙, 뒤의 것은 거듭제곱 규칙이 붙습니다.
결과 복사를 누르면 무엇이 복사되나요?
선택한 차수까지의 도함수 식과 대입값에서의 함숫값·접선 기울기·접선의 방정식이 여러 줄로 복사됩니다. 이때 식은 화면에 보이는 가운뎃점 대신 별표를 쓴 형태로 복사되므로, 그대로 다시 이 계산기의 입력칸에 붙여 넣거나 다른 수학 도구에 넣어도 그대로 읽힙니다. 긴 식을 손으로 옮기다 부호를 놓치는 실수를 막는 용도입니다.